与えられた数式の値を求める問題です。数式は以下の通りです。 $1 + \sqrt{\frac{x}{y}} - \frac{2}{\sqrt{\frac{y}{x}}} + \frac{1}{1 - \frac{1}{1 - \sqrt{\frac{y}{x}} + \frac{2}{\sqrt{\frac{x}{y}}}}}$

1. 問題の内容

与えられた数式の値を求める問題です。数式は以下の通りです。

$1 + \sqrt{\frac{x}{y}} - \frac{2}{\sqrt{\frac{y}{x}}} + \frac{1}{1 - \frac{1}{1 - \sqrt{\frac{y}{x}} + \frac{2}{\sqrt{\frac{x}{y}}}}}$

2. 解き方の手順

まず、数式を簡略化します。

$a = \sqrt{\frac{x}{y}}$ と置くと、$\frac{1}{a} = \sqrt{\frac{y}{x}}$ となります。

すると、与えられた式は以下のようになります。

$1 + a - \frac{2}{\frac{1}{a}} + \frac{1}{1 - \frac{1}{1 - \frac{1}{a} + 2a}}$

これは

$1 + a - 2a + \frac{1}{1 - \frac{1}{1 - \frac{1}{a} + 2a}}$

$1 - a + \frac{1}{1 - \frac{1}{\frac{a - 1 + 2a^2}{a}}}$

$1 - a + \frac{1}{1 - \frac{a}{2a^2 + a - 1}}$

$1 - a + \frac{1}{1 - \frac{a}{(2a - 1)(a + 1)}}$

$1 - a + \frac{1}{\frac{(2a - 1)(a + 1) - a}{(2a - 1)(a + 1)}}$

$1 - a + \frac{(2a - 1)(a + 1)}{2a^2 + 2a - a - 1 - a}$

$1 - a + \frac{2a^2 + a - 1}{2a^2 - 1}$

$1 - a + \frac{2a^2 - 1 + a}{2a^2 - 1}$

$1 - a + 1 + \frac{a}{2a^2 - 1}$

$2 - a + \frac{a}{2a^2 - 1}$

$\frac{(2 - a)(2a^2 - 1) + a}{2a^2 - 1}$

$\frac{4a^2 - 2 - 2a^3 + a + a}{2a^2 - 1}$

$\frac{-2a^3 + 4a^2 + 2a - 2}{2a^2 - 1}$

ここで、$a=1$を代入してみると、

$\frac{-2 + 4 + 2 - 2}{2 - 1} = \frac{2}{1} = 2$

$a=1$のとき、$\sqrt{\frac{x}{y}} = 1$ より $x = y$である。

元の式に$x = y$を代入すると、

$1 + 1 - 2 + \frac{1}{1 - \frac{1}{1 - 1 + 2}} = 0 + \frac{1}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2$

3. 最終的な答え

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