与えられた条件 $p: x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx = 0$ と $q: x = y = z$ について、$p$が成り立つとき、$x, y, z$の関係を求めます。

1. 問題の内容

与えられた条件 $p: x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx = 0$ と $q: x = y = z$ について、$p$が成り立つとき、$x, y, z$の関係を求めます。

2. 解き方の手順

条件$p$の式を変形していきます。

$x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx = 0$

両辺を2倍します。

$2x^2 + 2y^2 + 2z^2 - 2xy - 2yz - 2zx = 0$

式を整理すると以下のようになります。

$(x^2 - 2xy + y^2) + (y^2 - 2yz + z^2) + (z^2 - 2zx + x^2) = 0$

これは以下のようにも書き換えられます。

$(x - y)^2 + (y - z)^2 + (z - x)^2 = 0$

実数の2乗の和が0になるのは、それぞれの項が0であるときのみです。したがって、

$x - y = 0$

$y - z = 0$

$z - x = 0$

これらの式から、$x = y$, $y = z$, $z = x$ が導かれます。

つまり、$x = y = z$です。

3. 最終的な答え

$x = y = z$