2次方程式 $x^2 - 7x - 1 = 0$ の2つの解を $\alpha$, $\beta$ とするとき、次の2数を解とする2次方程式をそれぞれ1つ作る問題です。 (1) $\alpha - 2$, $\beta - 2$ (2) $\frac{2}{\alpha}$, $\frac{2}{\beta}$ (3) $\alpha + \beta$, $\alpha \beta$

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 - 7x - 1 = 0$ の2つの解を $\alpha$, $\beta$ とするとき、次の2数を解とする2次方程式をそれぞれ1つ作る問題です。

(1) $\alpha - 2$, $\beta - 2$

(2) $\frac{2}{\alpha}$, $\frac{2}{\beta}$

(3) $\alpha + \beta$, $\alpha \beta$

2. 解き方の手順

まず、解と係数の関係から、$\alpha + \beta$ と $\alpha \beta$ の値を求めます。

与えられた2次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ の2つの解を $\alpha$, $\beta$ とすると、解と係数の関係は以下のようになります。

$\alpha + \beta = -\frac{b}{a}$

$\alpha \beta = \frac{c}{a}$

今回の場合は、$a=1$, $b=-7$, $c=-1$ なので、

$\alpha + \beta = -\frac{-7}{1} = 7$

$\alpha \beta = \frac{-1}{1} = -1$

となります。

(1) $\alpha - 2$ と $\beta - 2$ を解とする2次方程式を作ります。

2つの解の和 $(\alpha - 2) + (\beta - 2) = \alpha + \beta - 4 = 7 - 4 = 3$

2つの解の積 $(\alpha - 2)(\beta - 2) = \alpha \beta - 2(\alpha + \beta) + 4 = -1 - 2(7) + 4 = -1 - 14 + 4 = -11$

よって、求める2次方程式は、$x^2 - 3x - 11 = 0$ となります。

(2) $\frac{2}{\alpha}$ と $\frac{2}{\beta}$ を解とする2次方程式を作ります。

2つの解の和 $\frac{2}{\alpha} + \frac{2}{\beta} = 2 \left(\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta}\right) = 2 \left(\frac{\alpha + \beta}{\alpha \beta}\right) = 2 \left(\frac{7}{-1}\right) = -14$

2つの解の積 $\frac{2}{\alpha} \cdot \frac{2}{\beta} = \frac{4}{\alpha \beta} = \frac{4}{-1} = -4$

よって、求める2次方程式は、$x^2 + 14x - 4 = 0$ となります。

(3) $\alpha + \beta$ と $\alpha \beta$ を解とする2次方程式を作ります。

$\alpha + \beta = 7$

$\alpha \beta = -1$

2つの解の和 $(\alpha + \beta) + (\alpha \beta) = 7 + (-1) = 6$

2つの解の積 $(\alpha + \beta)(\alpha \beta) = 7(-1) = -7$

よって、求める2次方程式は、$x^2 - 6x - 7 = 0$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $x^2 - 3x - 11 = 0$

(2) $x^2 + 14x - 4 = 0$

(3) $x^2 - 6x - 7 = 0$