次の4つの等式が成り立つかどうかを判定し、成り立たない場合は正しい等式に修正する問題です。 (1) $\sqrt{-3}\sqrt{-5} = \sqrt{15}$ (2) $\sqrt{2}\sqrt{-7} = \sqrt{-14}$ (3) $\frac{\sqrt{-2}}{\sqrt{5}} = \sqrt{\frac{-2}{5}}$ (4) $\frac{1}{\sqrt{-3}} = \sqrt{\frac{1}{-3}}$

## 問題6の解答

1. 問題の内容

次の4つの等式が成り立つかどうかを判定し、成り立たない場合は正しい等式に修正する問題です。

(1) $\sqrt{-3}\sqrt{-5} = \sqrt{15}$

(2) $\sqrt{2}\sqrt{-7} = \sqrt{-14}$

(3) $\frac{\sqrt{-2}}{\sqrt{5}} = \sqrt{\frac{-2}{5}}$

(4) $\frac{1}{\sqrt{-3}} = \sqrt{\frac{1}{-3}}$

2. 解き方の手順

(1) $\sqrt{-3} = \sqrt{3}i$、$\sqrt{-5} = \sqrt{5}i$なので、$\sqrt{-3}\sqrt{-5} = \sqrt{3}i \cdot \sqrt{5}i = \sqrt{15}i^2 = -\sqrt{15}$。

よって、$\sqrt{-3}\sqrt{-5} = \sqrt{15}$は成り立たない。正しい等式は$\sqrt{-3}\sqrt{-5} = -\sqrt{15}$。

(2) $\sqrt{-7} = \sqrt{7}i$なので、$\sqrt{2}\sqrt{-7} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{7}i = \sqrt{14}i = \sqrt{-14}$。

よって、$\sqrt{2}\sqrt{-7} = \sqrt{-14}$は成り立つ。

(3) $\sqrt{-2} = \sqrt{2}i$なので、$\frac{\sqrt{-2}}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{2}i}{\sqrt{5}} = \sqrt{\frac{2}{5}}i = \sqrt{\frac{-2}{5}}$。

よって、$\frac{\sqrt{-2}}{\sqrt{5}} = \sqrt{\frac{-2}{5}}$は成り立つ。

(4) $\sqrt{-3} = \sqrt{3}i$なので、$\frac{1}{\sqrt{-3}} = \frac{1}{\sqrt{3}i} = \frac{1}{\sqrt{3}i} \cdot \frac{i}{i} = \frac{i}{\sqrt{3}i^2} = \frac{i}{-\sqrt{3}} = -\frac{1}{\sqrt{3}}i = -\sqrt{\frac{1}{3}}i = -\sqrt{\frac{-1}{3}}$

$\sqrt{\frac{1}{-3}} = \sqrt{\frac{1}{3} \cdot -1} = \sqrt{\frac{1}{3}}\sqrt{-1} = \sqrt{\frac{1}{3}}i$

よって、$\frac{1}{\sqrt{-3}} = \sqrt{\frac{1}{-3}}$は成り立たない。正しい等式は$\frac{1}{\sqrt{-3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3}i$ または $\frac{1}{\sqrt{-3}} = -\sqrt{\frac{1}{3}}i$。もしくは $\frac{1}{\sqrt{-3}} = - \sqrt{\frac{-1}{3}}$

3. 最終的な答え

(1) 成り立たない。$\sqrt{-3}\sqrt{-5} = -\sqrt{15}$

(2) 成り立つ。

(3) 成り立つ。

(4) 成り立たない。$\frac{1}{\sqrt{-3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3}i = -\sqrt{\frac{1}{3}}i = - \sqrt{\frac{-1}{3}}$