不等式 $|x - \frac{a}{b}| \le |\frac{b}{a}|$ (1) を解き、さらに不等式 (1) と $k \le x \le k+3$ をともに満たす整数 $x$ がちょうど2個存在するような定数 $k$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

不等式 $|x - \frac{a}{b}| \le |\frac{b}{a}|$ (1) を解き、さらに不等式 (1) と $k \le x \le k+3$ をともに満たす整数 $x$ がちょうど2個存在するような定数 $k$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

まず、不等式 (1) を解く。

$|x - \frac{a}{b}| \le |\frac{b}{a}|$ は、

$-|\frac{b}{a}| \le x - \frac{a}{b} \le |\frac{b}{a}|$

と書き換えられる。

すべての辺に $\frac{a}{b}$ を足すと、

$\frac{a}{b} - |\frac{b}{a}| \le x \le \frac{a}{b} + |\frac{b}{a}|$

となる。

次に、この不等式を満たす整数 $x$ と、 $k \le x \le k+3$ を満たす整数 $x$ がちょうど2個となるような $k$ の範囲を求める。

$I = [\frac{a}{b} - |\frac{b}{a}| , \frac{a}{b} + |\frac{b}{a}|]$ とする。

$I$ に含まれる整数と、$k \le x \le k+3$ を満たす整数がちょうど2個であるような $k$ の範囲を考える。

$k \le x \le k+3$ の範囲に整数がちょうど2個含まれる場合、その整数を $n, n+1$ とすると、

$k \le n < n+1 \le k+3$ である。

よって、$k \le n$ かつ $n+1 \le k+3$ つまり $n-2 \le k$ となる。

したがって、$n-2 \le k \le n$ である。

ここで、 $I$ に含まれる整数を $n, n+1$ のみと仮定する。このとき、$k$ がどのような範囲であればよいか考える。

$k \le n < n+1 \le k+3$ かつ $k+3 < n+2$ または $n-1 < k$ であればよい。

つまり、$k \le n$ かつ $k+3 < n+2$ または $n-1 < k$ が必要である。

$k \le n$ かつ $k < n-1$ または $n-1 < k$ である。

この条件を満たす $k$ の範囲は、$n-1 < k \le n$ である。

同様に、$k \le x \le k+3$ の範囲に整数がちょうど2個含まれる場合、その整数を $n, n-1$ とすると、

$k \le n-1 < n \le k+3$ である。

よって、$k \le n-1$ かつ $n \le k+3$ つまり $n-3 \le k$ となる。

したがって、$n-3 \le k \le n-1$ である。

$I$ に含まれる整数が2個の場合、 $k$ の範囲は $n-2 < k \le n$ または $n-3 \le k < n-1$ の形になる。

3. 最終的な答え

問題文に $a$ と $b$ の関係が指定されていないため、これ以上具体的な範囲は求められません。

しかし、解き方としては上記の手順で進めることになります。

最終的な答えは、$k$ の値の範囲は $\frac{a}{b} - |\frac{b}{a}| - 2 < k \le \frac{a}{b} - |\frac{b}{a}|$ または $\frac{a}{b} + |\frac{b}{a}| - 3 \le k < \frac{a}{b} + |\frac{b}{a}| - 1$ の形になることが分かります。

ただし、$a$ と $b$ の具体的な値によって、範囲が変化するため、断定的な答えは出せません。