(1) 2次関数 $y = x^2$ のグラフを$x$軸方向に2倍した後、$x$軸方向に3、$y$軸方向に-1平行移動したグラフを表す式を求める。 (2) 2次関数 $y = -x^2 + 2x + 5$ のグラフを$y$軸方向に3倍した後、原点に関して対称移動したグラフの頂点の座標を求める。 (3) 指数関数 $y = 2^{x-1}$ のグラフを$y$軸に関して対称移動した後、$y$軸方向に5平行移動したグラフを表す式を求める。 (4) 有理関数 $y = \frac{4x+3}{2x-1}$ のグラフを$x$軸方向に関して対称移動した後、$x$軸方向に-2平行移動したグラフの漸近線を求める。

はい、承知いたしました。それでは、画像に記載された数学の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

(1) 2次関数 $y = x^2$ のグラフを$x$軸方向に2倍した後、$x$軸方向に3、$y$軸方向に-1平行移動したグラフを表す式を求める。

(2) 2次関数 $y = -x^2 + 2x + 5$ のグラフを$y$軸方向に3倍した後、原点に関して対称移動したグラフの頂点の座標を求める。

(3) 指数関数 $y = 2^{x-1}$ のグラフを$y$軸に関して対称移動した後、$y$軸方向に5平行移動したグラフを表す式を求める。

(4) 有理関数 $y = \frac{4x+3}{2x-1}$ のグラフを$x$軸方向に関して対称移動した後、$x$軸方向に-2平行移動したグラフの漸近線を求める。

2. 解き方の手順

(1)

- $x$軸方向に2倍は、$x$を$\frac{x}{2}$に置き換えることで実現できる。よって、$y = (\frac{x}{2})^2 = \frac{x^2}{4}$。

- $x$軸方向に3平行移動は、$x$を$x-3$に置き換えることで実現できる。よって、$y = \frac{(x-3)^2}{4}$。

- $y$軸方向に-1平行移動は、$y$を$y+1$に置き換えることで実現できる。よって、$y + 1 = \frac{(x-3)^2}{4}$。

- 整理すると、$y = \frac{(x-3)^2}{4} - 1 = \frac{x^2 - 6x + 9}{4} - 1 = \frac{x^2 - 6x + 5}{4}$。

(2)

- $y$軸方向に3倍は、$y$を$\frac{y}{3}$に置き換えることで実現できる。よって、$\frac{y}{3} = -x^2 + 2x + 5$、つまり、$y = -3x^2 + 6x + 15$。

- 原点に関して対称移動は、$x$を$-x$、$y$を$-y$に置き換えることで実現できる。よって、$-y = -3(-x)^2 + 6(-x) + 15$、つまり、$y = 3x^2 + 6x - 15$。

- 頂点の座標を求めるために平方完成する。$y = 3(x^2 + 2x) - 15 = 3(x^2 + 2x + 1) - 15 - 3 = 3(x+1)^2 - 18$。したがって、頂点の座標は$(-1, -18)$。

(3)

- $y$軸に関して対称移動は、$x$を$-x$に置き換えることで実現できる。よって、$y = 2^{-x-1}$。

- $y$軸方向に5平行移動は、$y$を$y-5$に置き換えることで実現できる。よって、$y - 5 = 2^{-x-1}$。

- 整理すると、$y = 2^{-x-1} + 5$。

(4)

- $x$軸に関して対称移動は、$y$を$-y$に置き換えることで実現できる。よって、$-y = \frac{4x+3}{2x-1}$、つまり、$y = -\frac{4x+3}{2x-1}$。

- $x$軸方向に-2平行移動は、$x$を$x+2$に置き換えることで実現できる。よって、$y = -\frac{4(x+2)+3}{2(x+2)-1} = -\frac{4x+11}{2x+3}$。

- 漸近線を求める。$y = -\frac{4x+11}{2x+3} = -\frac{2(2x+3)+5}{2x+3} = -2 - \frac{5}{2x+3}$。

水平漸近線は $y = -2$ であり、垂直漸近線は $2x+3=0$ すなわち $x = -\frac{3}{2}$。

3. 最終的な答え

(1) $y = \frac{x^2 - 6x + 5}{4}$

(2) $(-1, -18)$

(3) $y = 2^{-x-1} + 5$

(4) $y = -2$、 $x = -\frac{3}{2}$