数列$\{a_n\}$があり、初項は2である。初項から第n項までの和を$S_n$とする。数列$\{S_n\}$は漸化式 $S_{n+1} = \frac{1}{2}S_n + 3^{n+1}$ ($n=1, 2, 3, \dots$)を満たす。 (1) $n=1$と$n=2$を代入して、$a_2$と$a_3$を求める。 (2) $b_n = \frac{S_n}{3^n}$ ($n=1, 2, 3, \dots$)とおく。 $b_1$を求め、漸化式から$b_{n+1}$と$b_n$の関係式を求め、変形する。

1. 問題の内容

数列$\{a_n\}$があり、初項は2である。初項から第n項までの和を$S_n$とする。数列$\{S_n\}$は漸化式 $S_{n+1} = \frac{1}{2}S_n + 3^{n+1}$ ($n=1, 2, 3, \dots$)を満たす。

(1) $n=1$と$n=2$を代入して、$a_2$と$a_3$を求める。

(2) $b_n = \frac{S_n}{3^n}$ ($n=1, 2, 3, \dots$)とおく。

$b_1$を求め、漸化式から$b_{n+1}$と$b_n$の関係式を求め、変形する。

2. 解き方の手順

(1) $S_1 = a_1 = 2$

$n=1$を①に代入すると

$S_2 = \frac{1}{2}S_1 + 3^2 = \frac{1}{2}(2) + 9 = 1+9=10$

$a_2 = S_2 - S_1 = 10 - 2 = 8$

よって、アは8

$n=2$を①に代入すると

$S_3 = \frac{1}{2}S_2 + 3^3 = \frac{1}{2}(10) + 27 = 5+27 = 32$

$a_3 = S_3 - S_2 = 32 - 10 = 22$

よって、イウは22

(2) $b_n = \frac{S_n}{3^n}$より

$b_1 = \frac{S_1}{3^1} = \frac{2}{3}$

よって、エは2、オは3

$b_{n+1} = \frac{S_{n+1}}{3^{n+1}} = \frac{\frac{1}{2}S_n + 3^{n+1}}{3^{n+1}} = \frac{1}{2} \frac{S_n}{3^{n+1}} + 1 = \frac{1}{2} \frac{S_n}{3^n \cdot 3} + 1 = \frac{1}{6} \frac{S_n}{3^n} + 1$

$b_{n+1} = \frac{1}{6}b_n + 1$

よって、カは6、キは1

$b_{n+1} - \frac{6}{5} = \frac{1}{6}b_n + 1 - \frac{6}{5} = \frac{1}{6}b_n + \frac{5}{5} - \frac{6}{5} = \frac{1}{6}b_n - \frac{1}{5} = \frac{1}{6}(b_n - \frac{6}{5})$

$b_{n+1} - \frac{6}{5} = \frac{1}{6}(b_n - \frac{6}{5})$

よって、クは6、ケは5

3. 最終的な答え

ア: 8

イウ: 22

エ: 2

オ: 3

カ: 6

キ: 1

ク: 6

ケ: 5