問題は次の2つの事柄を示すことです。 (1) 正方行列 $A$ に対して、ある自然数 $n$ が存在して $A^n = E$ となるとき、$A$ は正則行列である。 (2) 正方行列 $A$ に対して、ある自然数 $n$ が存在して $A^n = O$ となるとき、$A$ は正則行列でない。

1. 問題の内容

問題は次の2つの事柄を示すことです。

(1) 正方行列 $A$ に対して、ある自然数 $n$ が存在して $A^n = E$ となるとき、$A$ は正則行列である。

(2) 正方行列 $A$ に対して、ある自然数 $n$ が存在して $A^n = O$ となるとき、$A$ は正則行列でない。

2. 解き方の手順

(1) $A^n = E$ となる自然数 $n$ が存在すると仮定します。このとき、$A$ の逆行列が存在することを示せば、$A$ が正則行列であることが示されます。

$A^n = E$ の両辺に $A^{-1}$ を掛けると、

$A^{n-1}A = E$

となることから、$A^{n-1}$ が $A$ の逆行列であることがわかります。したがって、$A^{-1} = A^{n-1}$ です。よって、$A$ は正則行列です。

(2) $A^n = O$ となる自然数 $n$ が存在すると仮定します。ここで、$A$ が正則行列であると仮定し、矛盾を導きます。もし $A$ が正則行列であるならば、$A^{-1}$ が存在します。

$A^n = O$ の両辺に $(A^{-1})^n$ を掛けると、

$A^n(A^{-1})^n = O(A^{-1})^n$

$(AA^{-1})^n = O$

$E^n = O$

$E = O$

となりますが、これは単位行列 $E$ が零行列 $O$ と等しいことを意味し、矛盾です。したがって、$A$ は正則行列ではありません。

3. 最終的な答え

(1) $A^n = E$ ならば、$A$ は正則行列である。

(2) $A^n = O$ ならば、$A$ は正則行列でない。