与えられた連立方程式 $ \begin{cases} xy = 128 \\ \frac{1}{\log_2 x} + \frac{1}{\log_2 y} = \frac{28}{45} \end{cases} $ を満たす実数 $x$, $y$ について、$x \le y$ の条件下で、$x$ および $y$ の範囲を求め、$\log_2 x = X$, $\log_2 y = Y$ とおいたときに、$X+Y$ の値と $XY$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた連立方程式

$$

\begin{cases}

xy = 128 \\

\frac{1}{\log_2 x} + \frac{1}{\log_2 y} = \frac{28}{45}

\end{cases}

$$

を満たす実数 $x$, $y$ について、$x \le y$ の条件下で、$x$ および $y$ の範囲を求め、$\log_2 x = X$, $\log_2 y = Y$ とおいたときに、$X+Y$ の値と $XY$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$x$ と $y$ の範囲を求めます。真数は正なので、$x > 0$ かつ $y > 0$ が必要です。また、$x=1$の時、$\log_2x=0$となり、$\frac{1}{\log_2x}$が定義できないため、$x \neq 1$です。同様に、$y \neq 1$です。

したがって、$x > 0$, $x \neq 1$ かつ $y > 0$, $y \neq 1$ が必要です。

次に、$X = \log_2 x$, $Y = \log_2 y$ とおくと、

$xy = 128 = 2^7$ より、$\log_2 (xy) = \log_2 (2^7)$ なので、$\log_2 x + \log_2 y = 7$ となります。

したがって、$X + Y = 7$ となります。

次に、与えられた式の変形を行います。

$\frac{1}{\log_2 x} + \frac{1}{\log_2 y} = \frac{28}{45}$ を、$X$ と $Y$ を用いて書き換えると、

$\frac{1}{X} + \frac{1}{Y} = \frac{28}{45}$

$\frac{X+Y}{XY} = \frac{28}{45}$

ここで、$X+Y=7$ なので、

$\frac{7}{XY} = \frac{28}{45}$

$28XY = 7 \times 45$

$XY = \frac{7 \times 45}{28} = \frac{45}{4} = 11.25$

次に、$x$の範囲を求めます。$x \le y$より、$\log_2 x \le \log_2 y$。つまり、$X \le Y$。

$X+Y = 7$ なので、$Y = 7-X$。

$XY = \frac{45}{4}$に代入すると、$X(7-X) = \frac{45}{4}$

$7X - X^2 = \frac{45}{4}$

$4X^2 - 28X + 45 = 0$

$(2X-5)(2X-9)=0$

$X = \frac{5}{2}$ または $X = \frac{9}{2}$

$X \le Y$ より、$X = \frac{5}{2}$のとき、$Y = 7 - \frac{5}{2} = \frac{9}{2}$。

$X = \frac{9}{2}$のとき、$Y = 7 - \frac{9}{2} = \frac{5}{2}$。この場合、$X > Y$ となるので不適。

したがって、$X = \frac{5}{2}$ かつ $Y = \frac{9}{2}$ となる。

$x = 2^{5/2} = 2^2 \sqrt{2} = 4\sqrt{2}$

$y = 2^{9/2} = 2^4 \sqrt{2} = 16\sqrt{2}$

$x > 0$, $x \neq 1$より、$x$は、$0 < x < 1$ または $1 < x$を満たします。

$x = 4\sqrt{2} \approx 5.65 > 1$なので、$1 < x$。

$x \le y$なので、$1 < x \le 16\sqrt{2}$。同様に、$1 < y$です。

3. 最終的な答え

ア: 0

イ: 1

ウ: 7

エオ: 45

カ: 4