問題は、$(\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2})^3 + (\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2})^3$ の値を求めることです。

1. 問題の内容

問題は、$(\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2})^3 + (\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2})^3$ の値を求めることです。

2. 解き方の手順

まず、$a = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$、$b = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$ とおきます。

求める値は $a^3 + b^3$ です。

$a^3 + b^3$ は $(a+b)(a^2-ab+b^2)$ または $(a+b)^3 - 3ab(a+b)$ と変形できます。

今回は後者の $(a+b)^3 - 3ab(a+b)$ を利用します。

$a+b = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2} = \frac{2\sqrt{6}}{2} = \sqrt{6}$

$ab = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2} = \frac{(\sqrt{6})^2 - (\sqrt{2})^2}{4} = \frac{6-2}{4} = \frac{4}{4} = 1$

よって、

$a^3+b^3 = (a+b)^3 - 3ab(a+b) = (\sqrt{6})^3 - 3 \cdot 1 \cdot \sqrt{6} = 6\sqrt{6} - 3\sqrt{6} = 3\sqrt{6}$

3. 最終的な答え

$3\sqrt{6}$