与えられた3次方程式 $x^3 + 27 = 0$ の解を求め、与えられた解の形式 $x = -3, (1 \pm (2) i) / 2$ における (2) に当てはまる数字を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた3次方程式 $x^3 + 27 = 0$ の解を求め、与えられた解の形式 $x = -3, (1 \pm (2) i) / 2$ における (2) に当てはまる数字を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた方程式を変形します。

$x^3 + 27 = 0$ は $x^3 = -27$ と書き換えられます。

これは、$x^3 = (-3)^3$ と同じです。

$x^3 + 3^3 = 0$ と変形し、和の3乗の公式 $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$ を用いると、

$(x+3)(x^2 - 3x + 9) = 0$ となります。

この式から、$x = -3$ が一つの解であることがわかります。

残りの解は、2次方程式 $x^2 - 3x + 9 = 0$ を解くことで求められます。

解の公式 $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ を用いると、

$x = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(1)(9)}}{2(1)}$

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 36}}{2}$

$x = \frac{3 \pm \sqrt{-27}}{2}$

$x = \frac{3 \pm \sqrt{27}i}{2}$

$x = \frac{3 \pm 3\sqrt{3}i}{2}$

したがって、解は $x = -3, \frac{3 \pm 3\sqrt{3}i}{2}$ となります。

ここで、問題文で与えられた解の形式 $\frac{1 \pm (2) i}{2}$ と比較すると、$x = \frac{3 \pm 3\sqrt{3}i}{2}$ を$\frac{1 \pm (2) i}{2}$の形に変形する必要はありません。

問題文で$x = -3, (1 \pm (2) i) / 2$という条件が与えられているため、$x^3 + 27 = 0$を解いた答えを代入し、式を満たすような(1)と(2)を決定すればよい。

ここで、$x = \frac{1 + ai}{2}$とすると、与えられた条件より$x=-3$と$\frac{1 - ai}{2}$も解となるはず。しかし、これは$x^3 = -27$の解ではないため、解の公式を利用して解く方針は誤り。問題文で$x = -3, (1 \pm (2) i) / 2$という条件が与えられていることを利用する。

$x = -3$を解に持つことはわかっているので、$x^3 + 27 = (x+3)(x^2 + ax + b) = 0$となる$a$と$b$を求める。

$x^3 + 27 = (x+3)(x^2 -3x + 9) = 0$より、$x^2 -3x + 9 = 0$を解くと、$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 36}}{2} = \frac{3 \pm 3\sqrt{3}i}{2}$

$\frac{3 \pm 3\sqrt{3}i}{2} = \frac{1 \pm (2) i}{2}$なので、与えられた条件を満たすように変形すると、$3 \pm 3\sqrt{3}i = 1 \pm (2) i$となり、$2 = 3\sqrt{3}$。したがって、②は$3\sqrt{3}$となる。

ただし、問題文では「②に当てはまる数字を入力しなさい」とあり、②は整数である必要があるため、これは誤りである。

$x^3 + 27 = 0$より、$x = -3, \frac{3 \pm 3\sqrt{3}i}{2}$であることは変わらない。

ここで、$x = \frac{1 \pm (2) i}{2}$とおくと、$\frac{3 \pm 3\sqrt{3}i}{2}$をこの形に変形することはできない。

問題文より、$x = -3$は解であり、残りの解は $\frac{1 \pm (2) i}{2}$ の形で与えられている。②に当てはまる数字を聞かれているので、$\frac{3 \pm 3\sqrt{3}i}{2}$と比較して、$2 = 3 \sqrt{3}$となり、数字にはならない。

問題文をもう一度確認すると、x = -3, (1 +- (2) i) / 2が解であると書かれている。しかし、これは間違いで、$x=-3, \frac{-3 \pm 3\sqrt{3}i}{2}$が正しいと思われる。

この場合、x = (-3 + 3sqrt(3) i)/2 = (1 +- (2) i)/2となるはずなので、-3 = 1 となり、これはあり得ない。

解答欄に整数を入力する必要があるため、解が間違っている。$\frac{3 \pm i\sqrt{27}}{2}$であり、$27 = 3*3*3$であるので、$3\sqrt{3}$となる。しかし、2は整数でなければいけないので、これも誤り。

x^3 + 27 = 0

(x+3)(x^2-3x+9)=0

x=(-(-3)+-sqrt((-3)^2 -4(1)(9))/2

=(3+-sqrt(9-36))/2

=(3+-sqrt(-27))/2

=(3+-i*3*sqrt(3))/2

問題で与えられている答えと比較すると、問題がおかしい。

3. 最終的な答え

問題文の設定が誤っている可能性が高いですが、形式的に問題を解釈すると、

解 $x = \frac{3 \pm 3\sqrt{3}i}{2}$ を与えられた形式 $\frac{1 \pm (2) i}{2}$ に無理やり当てはめようとすると、②に整数は入りません。

問題文で与えられた解の形から推測すると、恐らく問題のミスタイプがあり、正しくは$\sqrt{3}$であると思われます。しかし、問題文の指示に従い、最も近い整数を答えるしかないので、②に最も近い整数である「3」と答えるのが妥当だと思われます。

答え: 3