与えられた3次方程式 $x^3 + 27 = 0$ を解き、$x = -3$, $\frac{1 \pm \text{@} i}{2}$ の形で答えが与えられている。@に当てはまる数字を答える。

1. 問題の内容

与えられた3次方程式 $x^3 + 27 = 0$ を解き、$x = -3$, $\frac{1 \pm \text{@} i}{2}$ の形で答えが与えられている。@に当てはまる数字を答える。

2. 解き方の手順

与えられた方程式は $x^3 + 27 = 0$ である。これは $x^3 = -27$ と書き換えられる。

$x^3 + 3^3 = 0$ と変形し、和の3乗の公式 $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$ を用いる。

$(x+3)(x^2 - 3x + 9) = 0$

したがって、$x+3 = 0$ または $x^2 - 3x + 9 = 0$ となる。

$x+3=0$ より、$x = -3$ である。

$x^2 - 3x + 9 = 0$ の解を求めるために、二次方程式の解の公式 $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ を使う。ここで、$a=1$, $b=-3$, $c=9$ である。

$x = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(1)(9)}}{2(1)}$

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 36}}{2}$

$x = \frac{3 \pm \sqrt{-27}}{2}$

$x = \frac{3 \pm \sqrt{27}i}{2}$

$x = \frac{3 \pm 3\sqrt{3}i}{2}$

$x = \frac{3 \pm 3\sqrt{3}i}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{3}i}{2/3} * 3$

問題文に与えられた形式 $x = \frac{1 \pm \text{@} i}{2}$ に合うように変形すると、上記の解は $\frac{3 \pm 3\sqrt{3}i}{2} = \frac{3}{2} \pm \frac{3\sqrt{3}}{2} i$となる。問題文の形式と一致しない。

$x^3 = -27$ は、$x^3 = 27(\cos \pi + i \sin \pi)$ と書き換えられる。

ド・モアブルの定理より、$x = \sqrt[3]{27} \left( \cos \frac{\pi + 2k\pi}{3} + i \sin \frac{\pi + 2k\pi}{3} \right)$, $k = 0, 1, 2$

$x = 3 \left( \cos \frac{\pi + 2k\pi}{3} + i \sin \frac{\pi + 2k\pi}{3} \right)$, $k = 0, 1, 2$

$k = 0$ のとき、$x = 3 \left( \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3} \right) = 3 \left( \frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = \frac{3}{2} + i \frac{3\sqrt{3}}{2}$

$k = 1$ のとき、$x = 3 \left( \cos \frac{3\pi}{3} + i \sin \frac{3\pi}{3} \right) = 3(\cos \pi + i \sin \pi) = 3(-1 + 0i) = -3$

$k = 2$ のとき、$x = 3 \left( \cos \frac{5\pi}{3} + i \sin \frac{5\pi}{3} \right) = 3 \left( \frac{1}{2} - i \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = \frac{3}{2} - i \frac{3\sqrt{3}}{2}$

したがって、解は $x = -3, \frac{3 \pm 3\sqrt{3}i}{2}$ である。

与えられた解の形式 $\frac{1 \pm \text{@} i}{2}$ と合わせると、$\frac{3 \pm 3 \sqrt{3} i}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{3} i }{-2}3$とはならない。問題文が間違っている可能性がある。

問題文を再確認すると、$x = -3$, $(\frac{1 \pm \sqrt{3}i}{2}) \cdot 3 = (\frac{3 \pm 3 \sqrt{3} i}{2})$ でなければならない。

その場合、問題文中の $(\frac{1 \pm \text{@} i}{2})$ が $\frac{-3 \pm \text{@} i}{2}$ であれば、$3 \sqrt{3}$が正解となる。しかし、$\text{@} i$ の前にマイナスの符号がないため、$3\sqrt{3}$ が解となることはない。

$x^3 + 27 = (x+3)(x^2 - 3x + 9) = 0$ より、$x = -3, x = \frac{3 \pm \sqrt{-27}}{2} = \frac{3 \pm 3\sqrt{3}i}{2}$

$(\frac{1 \pm \text{@} i}{2})$ に合わせるには、$\frac{3}{2} \pm \frac{3\sqrt{3}}{2}i$ を強引に変形する必要がある。

3. 最終的な答え

与えられた解の形式と求めた解が一致しないため、問題文の形式に合うように解答することはできない。しかし、最も近いと思われるのは$\sqrt{3}$である。