この問題は、楕円と複素数に関する問題です。 (1)では、楕円 $C: \frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1$ の焦点の座標と、楕円上の点Pに関する性質を求めます。さらに、点Pが楕円の第1象限の部分を動くとき、$\triangle OPQ$ の面積の最大値を求めます。 (2)では、複素数 $z = -1 - \sqrt{3}i$ を極形式で表し、複素数平面上の点 $z$ が原点を中心とする半径1の円上を動くときの性質を求めます。さらに、$|z - \alpha|$ の最大値と、$z - 2$ の偏角の最大値を求めます。

1. 問題の内容

この問題は、楕円と複素数に関する問題です。

(1)では、楕円 $C: \frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1$ の焦点の座標と、楕円上の点Pに関する性質を求めます。さらに、点Pが楕円の第1象限の部分を動くとき、$\triangle OPQ$ の面積の最大値を求めます。

(2)では、複素数 $z = -1 - \sqrt{3}i$ を極形式で表し、複素数平面上の点 $z$ が原点を中心とする半径1の円上を動くときの性質を求めます。さらに、$|z - \alpha|$ の最大値と、$z - 2$ の偏角の最大値を求めます。

2. 解き方の手順

(1)(ア) 楕円 $C: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ の焦点の座標は、$a^2 > b^2$ のとき $(\pm \sqrt{a^2 - b^2}, 0)$ です。この問題では、$a^2 = 25$、$b^2 = 9$ なので、焦点の座標は $(\pm \sqrt{25 - 9}, 0) = (\pm 4, 0)$ です。したがって、F (4, 0), F' (-4, 0) です。

(イウ) 楕円上の点Pから2つの焦点までの距離の和は一定で、それは長軸の長さに等しくなります。この問題では、長軸の長さは $2a = 2 \times 5 = 10$ なので、PF + PF' = 10 です。

(エオ)(カ) 点Pを楕円C上の第1象限の部分を動く点とし、x軸に関して点Pと対称な点をQとします。このとき、$\triangle OPQ$ の面積の最大値を求めます。

点Pの座標を $(5\cos\theta, 3\sin\theta)$ とおきます。ただし、$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ とします。点Qの座標は $(5\cos\theta, -3\sin\theta)$ となります。$\triangle OPQ$ の面積は、

$\frac{1}{2} \times 5\cos\theta \times (3\sin\theta - (-3\sin\theta)) = \frac{1}{2} \times 5\cos\theta \times 6\sin\theta = 15\sin\theta\cos\theta = \frac{15}{2}\sin(2\theta)$

となります。

$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ より、$0 < 2\theta < \pi$ なので、$\sin(2\theta)$ の最大値は1です。したがって、$\triangle OPQ$ の面積の最大値は $\frac{15}{2}$ です。

(2)(キ)(ク) $z = -1 - \sqrt{3}i$ を極形式で表します。

$|z| = \sqrt{(-1)^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = 2$ です。

したがって、$z = 2(-\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i) = 2(\cos(\frac{4\pi}{3}) + i\sin(\frac{4\pi}{3}))$ となります。

(ケ) 複素数平面上で点々が原点を中心とする半径1の円上を動くとき、$|z| = 1$ が成り立ちます。

(コ) $|\alpha| = |2(\cos(\frac{4\pi}{3}) + i\sin(\frac{4\pi}{3}))| = 2$

$|z - \alpha|$ の最大値は、$|z - \alpha| \leq |z| + |\alpha| = 1 + 2 = 3$ となります。

(サ) $z = a + bi$ とすると、$z - 2 = (a-2) + bi$ の偏角を考えることになります。$z$ が単位円 $|z|=1$ 上を動くので，$z-2$ は原点を中心とする半径1の円を，実軸方向に2だけ平行移動した図形を描きます。このとき，$z-2$ の偏角の最大値は、原点からこの円に引いた接線の角度となります。$\theta$ を偏角とすると，$\sin \theta = \frac{1}{2}$ となるので，$\theta = \frac{\pi}{6}$ となります。

したがって，偏角の最大値は $\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$ です。

(シス)(セ)(ソ) このとき，$z = \cos(\frac{5\pi}{6}) + i \sin(\frac{5\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i$ となり，$\alpha = -1 - \sqrt{3}i$ です。したがって、

$\frac{z}{\alpha} = \frac{-\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i}{-1 - \sqrt{3}i} = \frac{(-\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i)(-1 + \sqrt{3}i)}{(-1 - \sqrt{3}i)(-1 + \sqrt{3}i)} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{3}{2}i - \frac{1}{2}i - \frac{\sqrt{3}}{2}}{1+3} = \frac{-2i}{4} = -\frac{1}{2}i = \frac{\sqrt{3}}{2}(-\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i) = \frac{1}{2}(0 - i)$

$\frac{z}{\alpha} = 0 - \frac{1}{2}i$ なので，$\frac{z}{\alpha} = \frac{0 - \sqrt{1} i}{2} = \frac{0 - \sqrt{1}}{2}$。

3. 最終的な答え

(1)

(ア) 4

(ア) -4

(イウ) 10

(エオ) 15

(カ) 2

(2)

(キ) 2

(ク) $\frac{4\pi}{3}$

(ケ) 2

(コ) 3

(サ) $\frac{5\pi}{6}$

(シス) 0

(セ) 1

(ソ) 2