与えられた命題の真偽を調べます。 (1) $x^2 = x \implies x = 1$ (2) $n$ が 4 の倍数 $\implies$ $n^2$ が 8 の倍数 (3) $-7 < x < \sqrt{7} \implies x < 3$ (4) $|n| < 1 \implies n = 0$

1. 問題の内容

与えられた命題の真偽を調べます。

(1) $x^2 = x \implies x = 1$

(2) $n$ が 4 の倍数 $\implies$ $n^2$ が 8 の倍数

(3) $-7 < x < \sqrt{7} \implies x < 3$

(4) $|n| < 1 \implies n = 0$

2. 解き方の手順

(1) $x^2 = x$ を満たす $x$ は $x = 0, 1$ です。したがって、$x = 0$ は $x = 1$ でない反例なので、この命題は偽です。

(2) $n$ が 4 の倍数であるとき、$n = 4k$ ($k$ は整数) と書けます。すると、$n^2 = (4k)^2 = 16k^2 = 8(2k^2)$ となり、$n^2$ は 8 の倍数となります。したがって、この命題は真です。

(3) $-7 < x < \sqrt{7}$ を満たす $x$ は常に $x < 3$ を満たします。なぜなら $\sqrt{7} < \sqrt{9} = 3$ なので、$x < \sqrt{7} < 3$ となります。したがって、この命題は真です。

(4) $|n| < 1$ は $-1 < n < 1$ を意味します。$n$ は整数なので、$n = 0$ です。したがって、この命題は真です。

3. 最終的な答え

(1) 偽

(2) 真

(3) 真

(4) 真