$\sqrt{12}-\sqrt{108}$ の整数部分を $a$ 、小数部分を $b$ とするとき、以下の問いに答えます。 (1) $a$ と $b$ の値を求めます。 (2) $b^3 + \frac{1}{b^3}$ の値を求めます。

1. 問題の内容

$\sqrt{12}-\sqrt{108}$ の整数部分を $a$ 、小数部分を $b$ とするとき、以下の問いに答えます。

(1) $a$ と $b$ の値を求めます。

(2) $b^3 + \frac{1}{b^3}$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $a$ と $b$ の値を求める。

まず、$\sqrt{12}$ と $\sqrt{108}$ を簡単にします。

$\sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = 2\sqrt{3}$

$\sqrt{108} = \sqrt{36 \times 3} = 6\sqrt{3}$

したがって、$\sqrt{12} - \sqrt{108} = 2\sqrt{3} - 6\sqrt{3} = -4\sqrt{3}$ となります。

$\sqrt{3}$ は約1.732なので、 $-4\sqrt{3} \approx -4 \times 1.732 = -6.928$ となります。

整数部分 $a$ は $-7$ です。

小数部分 $b$ は、 $-4\sqrt{3} - a$ で求められます。

$b = -4\sqrt{3} - (-7) = -4\sqrt{3} + 7 = 7 - 4\sqrt{3}$

(2) $b^3 + \frac{1}{b^3}$ の値を求める。

$b = 7 - 4\sqrt{3}$ なので、$\frac{1}{b} = \frac{1}{7 - 4\sqrt{3}}$ を計算します。

$\frac{1}{7 - 4\sqrt{3}} = \frac{7 + 4\sqrt{3}}{(7 - 4\sqrt{3})(7 + 4\sqrt{3})} = \frac{7 + 4\sqrt{3}}{49 - 16 \times 3} = \frac{7 + 4\sqrt{3}}{49 - 48} = 7 + 4\sqrt{3}$

$b + \frac{1}{b} = (7 - 4\sqrt{3}) + (7 + 4\sqrt{3}) = 14$

$b^3 + \frac{1}{b^3} = (b + \frac{1}{b})^3 - 3(b + \frac{1}{b})$

$b^3 + \frac{1}{b^3} = (14)^3 - 3(14) = 2744 - 42 = 2702$

3. 最終的な答え

(1) $a = -7$, $b = 7 - 4\sqrt{3}$

(2) $b^3 + \frac{1}{b^3} = 2702$