$\sqrt{12} - \sqrt{108}$ の整数部分を $a$、小数部分を $b$ とするとき、(1) $a$ と $b$ の値を求め、(2) $b^3 + \frac{1}{b^3}$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$\sqrt{12} - \sqrt{108}$ の整数部分を $a$、小数部分を $b$ とするとき、(1) $a$ と $b$ の値を求め、(2) $b^3 + \frac{1}{b^3}$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) まず、$\sqrt{12}$ と $\sqrt{108}$ を簡単にします。

$\sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = 2\sqrt{3}$

$\sqrt{108} = \sqrt{36 \times 3} = 6\sqrt{3}$

したがって、$\sqrt{12} - \sqrt{108} = 2\sqrt{3} - 6\sqrt{3} = -4\sqrt{3}$

$\sqrt{3}$ は約 $1.732$ なので、$-4\sqrt{3} \approx -4 \times 1.732 = -6.928$

したがって、整数部分は $a = -7$ となります。

小数部分は $b = -4\sqrt{3} - a = -4\sqrt{3} - (-7) = 7 - 4\sqrt{3}$

(2) $b^3 + \frac{1}{b^3}$ の値を求めます。

まず、$b = 7 - 4\sqrt{3}$ なので、

$\frac{1}{b} = \frac{1}{7 - 4\sqrt{3}} = \frac{7 + 4\sqrt{3}}{(7 - 4\sqrt{3})(7 + 4\sqrt{3})} = \frac{7 + 4\sqrt{3}}{49 - 16(3)} = \frac{7 + 4\sqrt{3}}{49 - 48} = 7 + 4\sqrt{3}$

よって、

$b + \frac{1}{b} = (7 - 4\sqrt{3}) + (7 + 4\sqrt{3}) = 14$

$(b + \frac{1}{b})^3 = b^3 + 3b^2(\frac{1}{b}) + 3b(\frac{1}{b})^2 + (\frac{1}{b})^3 = b^3 + 3b + \frac{3}{b} + \frac{1}{b^3} = b^3 + \frac{1}{b^3} + 3(b + \frac{1}{b})$

したがって、

$b^3 + \frac{1}{b^3} = (b + \frac{1}{b})^3 - 3(b + \frac{1}{b}) = 14^3 - 3(14) = 2744 - 42 = 2702$

3. 最終的な答え

(1) $a = -7$, $b = 7 - 4\sqrt{3}$

(2) $b^3 + \frac{1}{b^3} = 2702$