ある連立1次方程式の解のパラメータ表示が $\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} + p \begin{pmatrix} -2 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix} + q \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}$ と与えられているとき、次の選択肢の中から正しいパラメータ表示を全て選ぶ問題です。

1. 問題の内容

ある連立1次方程式の解のパラメータ表示が $\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} + p \begin{pmatrix} -2 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix} + q \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}$ と与えられているとき、次の選択肢の中から正しいパラメータ表示を全て選ぶ問題です。

2. 解き方の手順

パラメータ表示の基本形は「特殊解 + 斉次解の線形結合」です。

与えられたパラメータ表示 $\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} + p \begin{pmatrix} -2 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix} + q \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}$ を元に、各選択肢がこの形に変形できるか検討します。

または、パラメータ表示の自由度と選択肢のパラメータ表示の自由度を比較し、自由度が異なれば誤りであると判断できます。

選択肢1: $\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} + p \begin{pmatrix} -2 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix} + q \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} + (-1) \begin{pmatrix} -2 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix} + (-2) \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}$

よって、$p' = p-1, q' = q-2$ とおくと、$\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} + p \begin{pmatrix} -2 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix} + q \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} + p' \begin{pmatrix} -2 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix} + q' \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}$ と変形できるので、正しいです。

選択肢2: $\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} + p \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$

パラメータが $p$ のみであり、$q$ がありません。したがって、元のパラメータ表示と比較して自由度が足りないので誤りです。

選択肢3: $\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + p \begin{pmatrix} -3 \\ -4 \\ -2 \end{pmatrix} + q \begin{pmatrix} -1 \\ -3 \\ -2 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} -3 \\ -4 \\ -2 \end{pmatrix} = a \begin{pmatrix} -2 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix} + b \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}$

$-3 = -2a - b$

$-4 = -2a + 2b$

$-2 = -a -b$

この連立方程式を解くと、$b=-7/3$、$a=1/3$ となり、$\begin{pmatrix} -3 \\ -4 \\ -2 \end{pmatrix}$は$\begin{pmatrix} -2 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix}$と$\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}$の線形結合で表せる。

$\begin{pmatrix} -1 \\ -3 \\ -2 \end{pmatrix} = c \begin{pmatrix} -2 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix} + d \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}$

$-1 = -2c - d$

$-3 = -2c + 2d$

$-2 = -c - d$

この連立方程式を解くと、$c=5/6$、$d=-2/3$ となり、$\begin{pmatrix} -1 \\ -3 \\ -2 \end{pmatrix}$は$\begin{pmatrix} -2 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix}$と$\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}$の線形結合で表せる。

また、$\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}$が$\begin{pmatrix} -2 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix}$と$\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}$の線形結合で表せる場合、正しいパラメータ表示になる。しかし、そうではないため、誤りです。

選択肢4: $\begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} + p \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + q \begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix}$

同様に、線形結合の確認を行うことで、誤りだとわかります。

選択肢5: $\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} + p \begin{pmatrix} -2 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix} + q \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$q \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ とあるので、$\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}$の線形結合で表せる必要があります。

$\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}= a \begin{pmatrix} -2 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix} + b \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}$を満たすa,bは存在しないため誤り。

3. 最終的な答え

選択肢1が正しい。