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与えられた4次式 $x^4 + 5x^2 + 9$ を因数分解します。

代数学因数分解多項式4次式平方の差
2025/6/3

1. 問題の内容

与えられた4次式 x4+5x2+9x^4 + 5x^2 + 9 を因数分解します。

2. 解き方の手順

この式は、平方の差の形に変形することで因数分解できます。
まず、x4+5x2+9x^4 + 5x^2 + 9 を x4+6x2+9−x2x^4 + 6x^2 + 9 - x^2 のように変形します。
すると、
x4+6x2+9x^4 + 6x^2 + 9 は (x2+3)2(x^2 + 3)^2 となり、x2x^2 は (x)2(x)^2 となるので、平方の差の形を作ることができます。
したがって、
x4+5x2+9=(x2+3)2−x2x^4 + 5x^2 + 9 = (x^2 + 3)^2 - x^2
次に、平方の差の公式 a2−b2=(a+b)(a−b)a^2 - b^2 = (a + b)(a - b) を適用します。
この場合、a=x2+3a = x^2 + 3、b=xb = x なので、
(x2+3)2−x2=(x2+3+x)(x2+3−x)(x^2 + 3)^2 - x^2 = (x^2 + 3 + x)(x^2 + 3 - x)
整理して、
(x2+x+3)(x2−x+3)(x^2 + x + 3)(x^2 - x + 3)

3. 最終的な答え

(x2+x+3)(x2−x+3)(x^2 + x + 3)(x^2 - x + 3)

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