等式 $(x-2y)^2 + (2x+y)^2 = 5(x^2 + y^2)$ を証明するために、左辺 $(x-2y)^2 + (2x+y)^2$ を計算します。

1. 問題の内容

等式 $(x-2y)^2 + (2x+y)^2 = 5(x^2 + y^2)$ を証明するために、左辺 $(x-2y)^2 + (2x+y)^2$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、$(x-2y)^2$ と $(2x+y)^2$ をそれぞれ展開します。

$(x-2y)^2 = x^2 - 4xy + 4y^2$

$(2x+y)^2 = 4x^2 + 4xy + y^2$

次に、これらの展開した式を足し合わせます。

$(x-2y)^2 + (2x+y)^2 = (x^2 - 4xy + 4y^2) + (4x^2 + 4xy + y^2)$

$= x^2 + 4x^2 - 4xy + 4xy + 4y^2 + y^2$

$= 5x^2 + 5y^2$

最後に、$5x^2 + 5y^2$ を $5$ でくくります。

$5x^2 + 5y^2 = 5(x^2 + y^2)$

したがって、$(x-2y)^2 + (2x+y)^2 = 5(x^2 + y^2)$ が証明されました。

3. 最終的な答え

$(x-2y)^2 + (2x+y)^2 = 5(x^2 + y^2)$