ベクトル $\mathbf{x} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ に対して、以下の変換を行った後のベクトルを求める問題です。 (1) $y$軸について対称移動 (2) 原点について対称移動 (3) 原点を中心に $60^\circ$ 回転移動 (4) $y=x$ について対称移動し、原点を中心に $45^\circ$ 回転移動 (5) 原点を中心に $30^\circ$ 回転移動し、$x$軸について対称移動した後、原点を中心に $60^\circ$ 回転移動 (6) $y=x$ について対称移動し、原点を中心に $45^\circ$ 回転移動した後、$y$軸について対称移動

1. 問題の内容

ベクトル $\mathbf{x} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ に対して、以下の変換を行った後のベクトルを求める問題です。

(1) $y$軸について対称移動

(2) 原点について対称移動

(3) 原点を中心に $60^\circ$ 回転移動

(4) $y=x$ について対称移動し、原点を中心に $45^\circ$ 回転移動

(5) 原点を中心に $30^\circ$ 回転移動し、$x$軸について対称移動した後、原点を中心に $60^\circ$ 回転移動

(6) $y=x$ について対称移動し、原点を中心に $45^\circ$ 回転移動した後、$y$軸について対称移動

2. 解き方の手順

(1) $y$軸に関する対称移動は、$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} -x \\ y \end{pmatrix}$ です。

(2) 原点に関する対称移動は、$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} -x \\ -y \end{pmatrix}$ です。

(3) 原点を中心とする$\theta$回転移動は、回転行列を用いて表せます。回転行列は

$R(\theta) = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}$

で与えられます。$\theta = 60^\circ$ のとき、$\cos 60^\circ = \frac{1}{2}, \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ なので、

$R(60^\circ) = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$

したがって、$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} \frac{1}{2}x - \frac{\sqrt{3}}{2}y \\ \frac{\sqrt{3}}{2}x + \frac{1}{2}y \end{pmatrix}$ となります。

(4) $y=x$に関する対称移動は、$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} y \\ x \end{pmatrix}$ です。これは行列で書くと $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ となります。

$45^\circ$回転は、$\cos 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}}, \sin 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}}$ なので、

$R(45^\circ) = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}$

$y=x$に関して対称移動した後に45度回転移動するので

$\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} y \\ x \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}}y - \frac{1}{\sqrt{2}}x \\ \frac{1}{\sqrt{2}}y + \frac{1}{\sqrt{2}}x \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{y-x}{\sqrt{2}} \\ \frac{y+x}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}$

(5) $30^\circ$回転は、$\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}, \sin 30^\circ = \frac{1}{2}$ なので、

$R(30^\circ) = \begin{pmatrix} \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix}$

$x$軸に関する対称移動は、$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} x \\ -y \end{pmatrix}$ です。

$60^\circ$回転は、上で求めたとおりです。

$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ を $30^\circ$ 回転すると $\begin{pmatrix} \frac{\sqrt{3}}{2}x - \frac{1}{2}y \\ \frac{1}{2}x + \frac{\sqrt{3}}{2}y \end{pmatrix}$

$x$軸に関して対称移動すると $\begin{pmatrix} \frac{\sqrt{3}}{2}x - \frac{1}{2}y \\ -\frac{1}{2}x - \frac{\sqrt{3}}{2}y \end{pmatrix}$

さらに $60^\circ$ 回転すると

$\begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{\sqrt{3}}{2}x - \frac{1}{2}y \\ -\frac{1}{2}x - \frac{\sqrt{3}}{2}y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{\sqrt{3}}{4}x - \frac{1}{4}y + \frac{\sqrt{3}}{4}x + \frac{3}{4}y \\ \frac{3}{4}x - \frac{\sqrt{3}}{4}y - \frac{1}{4}x - \frac{\sqrt{3}}{4}y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{\sqrt{3}}{2}x + \frac{1}{2}y \\ \frac{1}{2}x - \frac{\sqrt{3}}{2}y \end{pmatrix}$

(6) $y=x$に関して対称移動した後に45度回転移動するのは(4)で求めました。

そのあと$y$軸に関して対称移動するので

$\begin{pmatrix} \frac{-(y-x)}{\sqrt{2}} \\ \frac{y+x}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{x-y}{\sqrt{2}} \\ \frac{y+x}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

(1) $\begin{pmatrix} -x \\ y \end{pmatrix}$

(2) $\begin{pmatrix} -x \\ -y \end{pmatrix}$

(3) $\begin{pmatrix} \frac{1}{2}x - \frac{\sqrt{3}}{2}y \\ \frac{\sqrt{3}}{2}x + \frac{1}{2}y \end{pmatrix}$

(4) $\begin{pmatrix} \frac{y-x}{\sqrt{2}} \\ \frac{y+x}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}$

(5) $\begin{pmatrix} \frac{\sqrt{3}}{2}x + \frac{1}{2}y \\ \frac{1}{2}x - \frac{\sqrt{3}}{2}y \end{pmatrix}$

(6) $\begin{pmatrix} \frac{x-y}{\sqrt{2}} \\ \frac{y+x}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}$