ベクトル $a_1 = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$, $a_2 = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix}$, $a_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$ が平面ベクトル全体 $\mathbb{R}^2$ を張ることを示し、さらに $a_1, a_2$ は $\mathbb{R}^2$ を張らないことを示す。

1. 問題の内容

ベクトル $a_1 = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$, $a_2 = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix}$, $a_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$ が平面ベクトル全体 $\mathbb{R}^2$ を張ることを示し、さらに $a_1, a_2$ は $\mathbb{R}^2$ を張らないことを示す。

2. 解き方の手順

(1) $a_1, a_2, a_3$ が $\mathbb{R}^2$ を張ることの証明:

$\mathbb{R}^2$ の任意のベクトル $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ が、$a_1, a_2, a_3$ の線形結合で表せることを示す。つまり、ある実数 $c_1, c_2, c_3$ が存在して、

$c_1 a_1 + c_2 a_2 + c_3 a_3 = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$

となることを示す。

この式は、

$c_1 \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} + c_2 \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix} + c_3 \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$

と書ける。

これは、以下の連立一次方程式と同値である。

$2c_1 + 4c_2 + c_3 = x$

$c_1 + 2c_2 + 2c_3 = y$

1つ目の式から2つ目の式の2倍を引くと:

$2c_1 + 4c_2 + c_3 - 2(c_1 + 2c_2 + 2c_3) = x - 2y$

$2c_1 + 4c_2 + c_3 - 2c_1 - 4c_2 - 4c_3 = x - 2y$

$-3c_3 = x - 2y$

$c_3 = -\frac{1}{3}(x - 2y)$

$c_1 = 0$とすると、$2c_2 + c_3 = x$ と $2c_2 + 2c_3 = y$ が残ります。

この場合、$c_2 = \frac{2x-y}{6}$となるはずです。

したがって、任意の$x,y$に対して$c_1, c_2, c_3$を定めることができるので、$a_1, a_2, a_3$は$\mathbb{R}^2$を張る。

(2) $a_1, a_2$ が $\mathbb{R}^2$ を張らないことの証明:

$a_1$ と $a_2$ が線形従属であることを示す。つまり、$a_2 = k a_1$ となる定数 $k$ が存在することを示す。

$a_2 = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix} = 2 \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} = 2 a_1$

よって、$a_2 = 2 a_1$ であるから、$a_1$ と $a_2$ は線形従属である。線形従属な2つのベクトルは、$\mathbb{R}^2$全体を張ることはできない。なぜなら、線形独立な2つのベクトルが必要だからである。

あるいは、 $a_1$ と $a_2$ が張る空間は、ベクトル$\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$上の直線にしかならないため、$\mathbb{R}^2$を張ることはできない。

3. 最終的な答え

$a_1, a_2, a_3$ は $\mathbb{R}^2$ を張る。

$a_1, a_2$ は $\mathbb{R}^2$ を張らない。