次の式を因数分解する。 (1) $3a + 4b + ab + b^2 + 3$ (3) $9x^2y - 9x^2 - y + 1$

## 数学の問題の解答

1. 問題の内容

次の式を因数分解する。

(1) $3a + 4b + ab + b^2 + 3$

(3) $9x^2y - 9x^2 - y + 1$

2. 解き方の手順

**(1) $3a + 4b + ab + b^2 + 3$**

* 文字について整理する。

この式は複数の文字を含んでいるため、特定の文字について整理し、共通因数を見つけやすくする。ここでは、$a$ について整理してみる。

$a$ を含む項と含まない項を分けると、

$3a + ab + 4b + b^2 + 3 = (3+b)a + (b^2+4b+3)$

* 残りの部分を因数分解する。

$(b^2+4b+3)$ の部分を因数分解する。

$(b^2+4b+3) = (b+1)(b+3)$

よって、式は次のようになる。

$(3+b)a + (b+1)(b+3)$

* 共通因数を見つける。

$(3+b)$ が共通因数であるため、これで括り出す。

$(b+3)a + (b+1)(b+3) = (b+3)(a+b+1)$

**(3) $9x^2y - 9x^2 - y + 1$**

* 共通因数でくくる

$9x^2$ で最初の二つの項をくくると、

$9x^2(y - 1) - y + 1$

* 符号を調整し、再度共通因数でくくる

$-y + 1 = -(y - 1)$ なので、

$9x^2(y - 1) - (y - 1)$

共通因数 $(y - 1)$ でくくると

$(y - 1)(9x^2 - 1)$

* さらに因数分解する

$(9x^2 - 1)$ は $(3x)^2 - 1^2$ と見なせるので、二乗の差の公式 $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ を用いると、

$(9x^2 - 1) = (3x - 1)(3x + 1)$

よって、式全体は

$(y - 1)(3x - 1)(3x + 1)$

3. 最終的な答え

(1) $(b+3)(a+b+1)$

(3) $(y-1)(3x-1)(3x+1)$