与えられた式 $x^4 - 13x^2y^2 + 4y^4$ を因数分解する問題です。

1. 問題の内容

与えられた式 $x^4 - 13x^2y^2 + 4y^4$ を因数分解する問題です。

2. 解き方の手順

まず、$x^4 - 13x^2y^2 + 4y^4$ を $x^4 - 4x^2y^2 + 4y^4 - 9x^2y^2$ と変形します。

これは、$x^4 - 13x^2y^2 + 4y^4 = x^4 - 4x^2y^2 + 4y^4 - 9x^2y^2$ であるため、正しい変形です。

次に、$x^4 - 4x^2y^2 + 4y^4$ は $(x^2 - 2y^2)^2$ と因数分解できます。

したがって、$x^4 - 4x^2y^2 + 4y^4 - 9x^2y^2 = (x^2 - 2y^2)^2 - (3xy)^2$ となります。

ここで、和と差の積の公式 $a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$ を用いると、

$(x^2 - 2y^2)^2 - (3xy)^2 = (x^2 - 2y^2 + 3xy)(x^2 - 2y^2 - 3xy)$ となります。

最後に、$x^2 - 2y^2 + 3xy$ と $x^2 - 2y^2 - 3xy$ の項を整理すると、

$(x^2 + 3xy - 2y^2)(x^2 - 3xy - 2y^2)$ となります。

さらに因数分解できるか検討しますが、この式はこれ以上簡単に因数分解できません。

3. 最終的な答え

$(x^2 + 3xy - 2y^2)(x^2 - 3xy - 2y^2)$