線形写像 $f$ が与えられたとき、その核（カーネル）と像を図示し、$f$ を表現する行列 $A$ を求める問題です。具体的には、問題2では、$f \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$ であり、$f$ の核が $\begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix}$ で張られることを用いて、$A$ を求める。問題3では、$f \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ 1 \end{bmatrix}$ であり、$f$ の核が $\begin{bmatrix} 2 \\ -2 \end{bmatrix}$ で張られることを用いて、$A$ を求める。

1. 問題の内容

線形写像 $f$ が与えられたとき、その核（カーネル）と像を図示し、$f$ を表現する行列 $A$ を求める問題です。具体的には、問題2では、$f \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$ であり、$f$ の核が $\begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix}$ で張られることを用いて、$A$ を求める。問題3では、$f \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ 1 \end{bmatrix}$ であり、$f$ の核が $\begin{bmatrix} 2 \\ -2 \end{bmatrix}$ で張られることを用いて、$A$ を求める。

2. 解き方の手順

問題2

* $f$ の核が $\begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix}$ で張られる1次元部分空間であることから、次元定理を用いて、$f$ の像が1次元の部分空間であることを導く。

* 核と像を図示する。核は $\begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix}$ の張る直線で、像は $\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$ の張る直線である。

* 行列 $A$ を求めるには、$\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}$ がどこに移るかを知る必要がある。

* 核を平行移動して $\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}$ を通る直線を考える。核 $\begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix}$ を張る部分空間と、$\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}$ を通る直線 $x_2 = 1$ との交点を求める。

* 交点の座標は $\begin{bmatrix} -2 \\ 1 \end{bmatrix}$ であり、これは $f$ によって $\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$ に移る。

* 線形写像の性質から、$\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}$ は $\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$ に移る。$\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$ は$\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$に移るので、$A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$となる。

問題3

* $f$ の核は $\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}$ で張られる。$f \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ 1 \end{bmatrix}$である。

* $\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$ と $\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}$ の行き先を求める。$\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} + \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}$ である。

* $f\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} = f(\frac{1}{2} \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} + \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}) = \frac{1}{2} f\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} + \frac{1}{2} f\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix} = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 3 \\ 1 \end{bmatrix} + \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3/2 \\ 1/2 \end{bmatrix}$.

* $\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} - \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}$ である。

* $f\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} = f(\frac{1}{2} \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} - \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}) = \frac{1}{2} f\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} - \frac{1}{2} f\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix} = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 3 \\ 1 \end{bmatrix} - \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3/2 \\ 1/2 \end{bmatrix}$.

* したがって、$A = \begin{bmatrix} 3/2 & 3/2 \\ 1/2 & 1/2 \end{bmatrix}$となる。

3. 最終的な答え

問題2の答え:

$A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$

問題3の答え:

$A = \begin{bmatrix} 3/2 & 3/2 \\ 1/2 & 1/2 \end{bmatrix}$