行列 $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ に対して、以下の等式が成り立つことを示す問題です。 $A^2 - (a+d)A + (ad-bc)E = 0$ ここで、$E$ は2x2の単位行列、$0$ は2x2の零行列を表します。

1. 問題の内容

行列 $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ に対して、以下の等式が成り立つことを示す問題です。

$A^2 - (a+d)A + (ad-bc)E = 0$

ここで、$E$ は2x2の単位行列、$0$ は2x2の零行列を表します。

2. 解き方の手順

まず、$A^2$ を計算します。

$A^2 = A \cdot A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a^2+bc & ab+bd \\ ca+dc & cb+d^2 \end{bmatrix}$

次に、$(a+d)A$ を計算します。

$(a+d)A = (a+d)\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a(a+d) & b(a+d) \\ c(a+d) & d(a+d) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a^2+ad & ab+bd \\ ac+cd & ad+d^2 \end{bmatrix}$

次に、$(ad-bc)E$ を計算します。ここで、$E$ は単位行列 $\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ です。

$(ad-bc)E = (ad-bc)\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ad-bc & 0 \\ 0 & ad-bc \end{bmatrix}$

これらの結果を用いて、$A^2 - (a+d)A + (ad-bc)E$ を計算します。

$A^2 - (a+d)A + (ad-bc)E = \begin{bmatrix} a^2+bc & ab+bd \\ ca+dc & cb+d^2 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} a^2+ad & ab+bd \\ ac+cd & ad+d^2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} ad-bc & 0 \\ 0 & ad-bc \end{bmatrix}$

$= \begin{bmatrix} a^2+bc-(a^2+ad)+ad-bc & ab+bd-(ab+bd)+0 \\ ca+dc-(ac+cd)+0 & cb+d^2-(ad+d^2)+ad-bc \end{bmatrix}$

$= \begin{bmatrix} a^2+bc-a^2-ad+ad-bc & ab+bd-ab-bd \\ ca+dc-ac-cd & cb+d^2-ad-d^2+ad-bc \end{bmatrix}$

$= \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$

$= 0$

したがって、$A^2 - (a+d)A + (ad-bc)E = 0$ が成り立ちます。

3. 最終的な答え

$A^2 - (a+d)A + (ad-bc)E = 0$ が示された。