与えられた行列 $A$ に対して、以下の問題を解きます。 (1) $A$の余因子 $A_{11}$, $A_{12}$, $A_{13}$, $A_{14}$を計算します。 (2) $|A|$の第1行に関する展開式 $|A| = A_{11} + A_{12} + A_{13} + A_{14}$ を確認します。 $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1^2 & 2^2 & 3^2 & 4^2 \\ 1^3 & 2^3 & 3^3 & 4^3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 4 & 9 & 16 \\ 1 & 8 & 27 & 64 \end{pmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた行列 $A$ に対して、以下の問題を解きます。

(1) $A$の余因子 $A_{11}$, $A_{12}$, $A_{13}$, $A_{14}$を計算します。

(2) $|A|$の第1行に関する展開式 $|A| = A_{11} + A_{12} + A_{13} + A_{14}$ を確認します。

$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1^2 & 2^2 & 3^2 & 4^2 \\ 1^3 & 2^3 & 3^3 & 4^3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 4 & 9 & 16 \\ 1 & 8 & 27 & 64 \end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

(1) 余因子の計算

$A_{11}$ は、第1行と第1列を取り除いた行列の行列式に $(-1)^{1+1} = 1$ を掛けたものです。

$A_{11} = \begin{vmatrix} 2 & 3 & 4 \\ 4 & 9 & 16 \\ 8 & 27 & 64 \end{vmatrix} = 2(9\cdot64 - 16\cdot27) - 3(4\cdot64 - 16\cdot8) + 4(4\cdot27 - 9\cdot8) = 2(576 - 432) - 3(256 - 128) + 4(108 - 72) = 2(144) - 3(128) + 4(36) = 288 - 384 + 144 = 48$

$A_{12}$ は、第1行と第2列を取り除いた行列の行列式に $(-1)^{1+2} = -1$ を掛けたものです。

$A_{12} = -\begin{vmatrix} 1 & 3 & 4 \\ 1 & 9 & 16 \\ 1 & 27 & 64 \end{vmatrix} = -(1(9\cdot64 - 16\cdot27) - 3(1\cdot64 - 16\cdot1) + 4(1\cdot27 - 9\cdot1)) = -(1(576 - 432) - 3(64 - 16) + 4(27 - 9)) = -(144 - 3(48) + 4(18)) = -(144 - 144 + 72) = -72$

$A_{13}$ は、第1行と第3列を取り除いた行列の行列式に $(-1)^{1+3} = 1$ を掛けたものです。

$A_{13} = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 4 \\ 1 & 4 & 16 \\ 1 & 8 & 64 \end{vmatrix} = 1(4\cdot64 - 16\cdot8) - 2(1\cdot64 - 16\cdot1) + 4(1\cdot8 - 4\cdot1) = (256 - 128) - 2(64 - 16) + 4(8 - 4) = 128 - 2(48) + 4(4) = 128 - 96 + 16 = 48$

$A_{14}$ は、第1行と第4列を取り除いた行列の行列式に $(-1)^{1+4} = -1$ を掛けたものです。

$A_{14} = -\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 4 & 9 \\ 1 & 8 & 27 \end{vmatrix} = -(1(4\cdot27 - 9\cdot8) - 2(1\cdot27 - 9\cdot1) + 3(1\cdot8 - 4\cdot1)) = -(1(108 - 72) - 2(27 - 9) + 3(8 - 4)) = -(36 - 2(18) + 3(4)) = -(36 - 36 + 12) = -12$

(2) $|A|$ の計算と確認

$|A|$ を計算します。

$|A| = 1\cdot A_{11} + 1\cdot A_{12} + 1\cdot A_{13} + 1\cdot A_{14} = A_{11} + A_{12} + A_{13} + A_{14}$

$|A| = 48 + (-72) + 48 + (-12) = 96 - 84 = 12$

別の方法で行列式を計算します。これはヴァンデルモンド行列の行列式なので、

$|A| = (2-1)(3-1)(4-1)(3-2)(4-2)(4-3) = (1)(2)(3)(1)(2)(1) = 12$

よって、$|A| = A_{11} + A_{12} + A_{13} + A_{14}$ であることが確認できました。

3. 最終的な答え

(1) $A_{11} = 48$, $A_{12} = -72$, $A_{13} = 48$, $A_{14} = -12$

(2) $|A| = A_{11} + A_{12} + A_{13} + A_{14} = 12$