問題は、$(x+1)a^2 - 2xa + x - 1$ を因数分解せよ、というものです。

1. 問題の内容

問題は、$(x+1)a^2 - 2xa + x - 1$ を因数分解せよ、というものです。

2. 解き方の手順

与えられた式を展開し、整理します。

$(x+1)a^2 - 2xa + x - 1 = xa^2 + a^2 - 2xa + x - 1$

次に、$a$ について整理します。

$xa^2 - 2xa + a^2 + x - 1 = (x+1)a^2 - 2xa + (x-1)$

ここで、与えられた式を因数分解することを考えます。

$(x+1)a^2 - 2xa + (x-1)$ を $a$ についての2次式と見て、因数分解できるか試します。

もし、$(x+1)a^2 - 2xa + (x-1) = (Aa + B)(Ca + D)$ と因数分解できるとすれば、

$AC = x+1$, $AD + BC = -2x$, $BD = x-1$

となるはずです。

別の方法として、$x$ について整理してみます。

$(x+1)a^2 - 2xa + x - 1 = xa^2 + a^2 - 2xa + x - 1 = (a^2 - 2a + 1)x + a^2 - 1$

$(a^2 - 2a + 1)x + a^2 - 1 = (a-1)^2 x + (a-1)(a+1)$

$(a-1)^2 x + (a-1)(a+1) = (a-1)[(a-1)x + (a+1)]$

$(a-1)[(a-1)x + (a+1)] = (a-1)(ax - x + a + 1)$

したがって、与えられた式は $(a-1)(ax-x+a+1)$ と因数分解できます。

3. 最終的な答え

$(a-1)(ax-x+a+1)$