画像に示された8個の数式を計算する問題です。具体的には、根号を含む式の計算、展開、簡略化などを行います。 問題は以下の通りです。 (2) $\frac{\sqrt[5]{96}}{\sqrt[5]{3}}$ (3) $\sqrt[3]{\sqrt{729}}$ (4) $(\sqrt[3]{5} - \sqrt[3]{3})(\sqrt[3]{25} + \sqrt[3]{15} + \sqrt[3]{9})$ (5) $(\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b})(\sqrt[3]{a^2} - \sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^2})$ (6) $(\sqrt{a} + \sqrt{b})(\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b})(\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b})$ (7) $(\sqrt{3} + \sqrt[4]{9})^2$ (8) $(\sqrt[3]{16} + 5\sqrt[6]{4} - 3\sqrt[9]{8})^3$

はい、承知いたしました。以下の形式で、ご質問の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

画像に示された8個の数式を計算する問題です。具体的には、根号を含む式の計算、展開、簡略化などを行います。

問題は以下の通りです。

(2) $\frac{\sqrt[5]{96}}{\sqrt[5]{3}}$

(3) $\sqrt[3]{\sqrt{729}}$

(4) $(\sqrt[3]{5} - \sqrt[3]{3})(\sqrt[3]{25} + \sqrt[3]{15} + \sqrt[3]{9})$

(5) $(\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b})(\sqrt[3]{a^2} - \sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^2})$

(6) $(\sqrt{a} + \sqrt{b})(\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b})(\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b})$

(7) $(\sqrt{3} + \sqrt[4]{9})^2$

(8) $(\sqrt[3]{16} + 5\sqrt[6]{4} - 3\sqrt[9]{8})^3$

2. 解き方の手順

各問題ごとに解き方を説明します。

(2) $\frac{\sqrt[5]{96}}{\sqrt[5]{3}}$

根号の中を計算します。

$\sqrt[5]{\frac{96}{3}} = \sqrt[5]{32} = \sqrt[5]{2^5} = 2$

(3) $\sqrt[3]{\sqrt{729}}$

まず、内側の根号を計算します。

$\sqrt{729} = \sqrt{3^6} = 3^3 = 27$

次に、外側の根号を計算します。

$\sqrt[3]{27} = \sqrt[3]{3^3} = 3$

(4) $(\sqrt[3]{5} - \sqrt[3]{3})(\sqrt[3]{25} + \sqrt[3]{15} + \sqrt[3]{9})$

これは、$a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$の公式を利用します。

$(\sqrt[3]{5})^3 - (\sqrt[3]{3})^3 = 5 - 3 = 2$

(5) $(\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b})(\sqrt[3]{a^2} - \sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^2})$

これは、$a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$の公式を利用します。

$(\sqrt[3]{a})^3 + (\sqrt[3]{b})^3 = a + b$

(6) $(\sqrt{a} + \sqrt{b})(\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b})(\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b})$

まず、後半の2つの括弧を展開します。

$(\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b})(\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b}) = (\sqrt[4]{a})^2 - (\sqrt[4]{b})^2 = \sqrt{a} - \sqrt{b}$

次に、最初の括弧と組み合わせます。

$(\sqrt{a} + \sqrt{b})(\sqrt{a} - \sqrt{b}) = (\sqrt{a})^2 - (\sqrt{b})^2 = a - b$

(7) $(\sqrt{3} + \sqrt[4]{9})^2$

$\sqrt[4]{9} = \sqrt{\sqrt{9}} = \sqrt{3}$なので、

$(\sqrt{3} + \sqrt{3})^2 = (2\sqrt{3})^2 = 4 \cdot 3 = 12$

(8) $(\sqrt[3]{16} + 5\sqrt[6]{4} - 3\sqrt[9]{8})^3$

$\sqrt[3]{16} = \sqrt[3]{2^4} = 2\sqrt[3]{2}$

$\sqrt[6]{4} = \sqrt[6]{2^2} = \sqrt[3]{2}$

$\sqrt[9]{8} = \sqrt[9]{2^3} = \sqrt[3]{2}$

与式は、$(2\sqrt[3]{2} + 5\sqrt[3]{2} - 3\sqrt[3]{2})^3 = (4\sqrt[3]{2})^3 = 4^3 \cdot (\sqrt[3]{2})^3 = 64 \cdot 2 = 128$

3. 最終的な答え

(2) 2

(3) 3

(4) 2

(5) $a+b$

(6) $a-b$

(7) 12

(8) 128