整式 $A = x^3 + 2x^2 - x + 3$ を整式 $B$ で割ったところ、商が $x+1$、余りが $x+6$ であった。このとき、整式 $B$ を求める。

1. 問題の内容

整式 $A = x^3 + 2x^2 - x + 3$ を整式 $B$ で割ったところ、商が $x+1$、余りが $x+6$ であった。このとき、整式 $B$ を求める。

2. 解き方の手順

整式の割り算の関係は次の式で表される：

$A = B \times (\text{商}) + (\text{余り})$

この問題に当てはめると、次のようになる：

$x^3 + 2x^2 - x + 3 = B \times (x+1) + (x+6)$

まず、上の式を $B$ について解く。余りを左辺に移項する：

$x^3 + 2x^2 - x + 3 - (x + 6) = B \times (x+1)$

$x^3 + 2x^2 - x + 3 - x - 6 = B \times (x+1)$

$x^3 + 2x^2 - 2x - 3 = B \times (x+1)$

次に、両辺を $(x+1)$ で割る：

$B = \frac{x^3 + 2x^2 - 2x - 3}{x+1}$

ここで、筆算または組み立て除法を用いて多項式の割り算を実行する。

組み立て除法を使う場合：

-1 | 1 2 -2 -3

| -1 -1 3

----------------

1 1 -3 0

よって、$x^3 + 2x^2 - 2x - 3 = (x+1)(x^2 + x - 3)$ となる。

したがって、$B = x^2 + x - 3$

3. 最終的な答え

$B = x^2 + x - 3$