与えられた式 $ |2\sqrt{2} - \pi| + \left| \frac{1+\sqrt{2}}{1-\sqrt{2}} \right| $ を計算せよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $|2\sqrt{2} - \pi| + \left| \frac{1+\sqrt{2}}{1-\sqrt{2}} \right|$ を計算せよ。

2. 解き方の手順

まず、$|2\sqrt{2} - \pi|$ の絶対値を計算する。$2\sqrt{2}$ は約 $2 \times 1.414 = 2.828$ であり、$\pi$ は約 $3.14$ である。したがって、$2\sqrt{2} - \pi$ は負の値になる。絶対値を取るので、

$|2\sqrt{2} - \pi| = \pi - 2\sqrt{2}$ となる。

次に、$\left| \frac{1+\sqrt{2}}{1-\sqrt{2}} \right|$ を計算する。分母を有理化するために、分子と分母に $1+\sqrt{2}$ をかける。

$$\frac{1+\sqrt{2}}{1-\sqrt{2}} = \frac{(1+\sqrt{2})(1+\sqrt{2})}{(1-\sqrt{2})(1+\sqrt{2})} = \frac{1 + 2\sqrt{2} + 2}{1 - 2} = \frac{3 + 2\sqrt{2}}{-1} = -3 - 2\sqrt{2}$$

したがって、

$\left| \frac{1+\sqrt{2}}{1-\sqrt{2}} \right| = |-3 - 2\sqrt{2}| = 3 + 2\sqrt{2}$ となる。

最後に、これらの値を足し合わせる。

$|2\sqrt{2} - \pi| + \left| \frac{1+\sqrt{2}}{1-\sqrt{2}} \right| = (\pi - 2\sqrt{2}) + (3 + 2\sqrt{2}) = \pi + 3$

3. 最終的な答え

$\pi + 3$