与えられた2変数多項式 $3x^2 - 6y^2 + 7xy - 5x + 7y - 2$ を因数分解する。

1. 問題の内容

与えられた2変数多項式 $3x^2 - 6y^2 + 7xy - 5x + 7y - 2$ を因数分解する。

2. 解き方の手順

与式を$x$について整理すると、

$3x^2 + (7y - 5)x - 6y^2 + 7y - 2$

となる。定数項 $-6y^2 + 7y - 2$ を因数分解すると、

$-6y^2 + 7y - 2 = -(6y^2 - 7y + 2) = -(2y - 1)(3y - 2)$

である。与式が $(3x + ay + b)(x + cy + d)$ の形に因数分解できると仮定すると、$ac = -6$、$bd = -2$となる。

よって、与式は

$[3x + (2y - 1)][x - (3y - 2)]$

または

$[3x - (2y - 1)][x + (3y - 2)]$

のどちらかの形になるはずである。

前者の場合、$3x^2 + (2y - 1)x - (3x - 2)(3x + 1) - (2y - 1)(3y - 2)$ の展開は、$3x^2 + (-7y + 5)x + 6y^2 - 7y + 2$となり、$x$の係数の符号が異なる。したがって、後者の場合を試す。

$3x - (2y - 1)$ と $x + (3y - 2)$ の積は、

$$(3x - 2y + 1)(x + 3y - 2) = 3x^2 + 9xy - 6x - 2xy - 6y^2 + 4y + x + 3y - 2$$

$$= 3x^2 + 7xy - 5x - 6y^2 + 7y - 2$$

これは元の式と一致する。

3. 最終的な答え

$(3x - 2y + 1)(x + 3y - 2)$