$n$次行列 $A, B$ に対して、以下のことを示してください。 (1) $A, B$ が正則であっても $A+B$ は正則とは限らないことを示す。 (2) ある自然数 $k$ に対して、$A^k = E$（$E$は単位行列） が存在すれば、$A$ は正則であることを示す。 (3) $A^2 = A$ かつ $A \neq E$ ならば、$A$ は正則ではないことを示す。

1. 問題の内容

$n$次行列 $A, B$ に対して、以下のことを示してください。

(1) $A, B$ が正則であっても $A+B$ は正則とは限らないことを示す。

(2) ある自然数 $k$ に対して、$A^k = E$（$E$は単位行列） が存在すれば、$A$ は正則であることを示す。

(3) $A^2 = A$ かつ $A \neq E$ ならば、$A$ は正則ではないことを示す。

2. 解き方の手順

(1) $A, B$ が正則であっても $A+B$ が正則とは限らない例を示す。

例えば、$A = E$ と $B = -E$ を考えると、$A, B$ は正則ですが、$A+B = E + (-E) = 0$ となり、零行列は正則ではありません。

(2) $A^k = E$ が成り立つとき、$A$ が正則であることを示す。

$A^{k-1}$ を $A$ にかけると単位行列 $E$ になるので、つまり $A \cdot A^{k-1} = A^{k-1} \cdot A = E$ です。

したがって、$A^{k-1}$ は $A$ の逆行列となります。

つまり、$A^{-1} = A^{k-1}$ が存在するので、$A$ は正則です。

(3) $A^2 = A$ かつ $A \neq E$ ならば、$A$ は正則ではないことを示す。

もし $A$ が正則であると仮定すると、$A^{-1}$ が存在します。

$A^2 = A$ の両辺に左から $A^{-1}$ をかけると、

$A^{-1}A^2 = A^{-1}A$

$A = E$

これは、$A \neq E$ に矛盾します。

したがって、$A$ は正則ではありません。

3. 最終的な答え

(1) 例えば、$A=E$, $B=-E$ のとき、$A, B$ は正則だが $A+B=0$ (零行列) なので正則ではない。

(2) $A^k = E$ ならば、$A^{-1} = A^{k-1}$ が存在するので、$A$ は正則である。

(3) $A^2 = A, A \neq E$ ならば、$A$ は正則ではない。