(1) $\frac{1}{1-x^2} = \frac{a}{1+x} + \frac{b}{1-x}$ となるような定数 $a, b$ を求める。 (2) $f(x) = \frac{1}{1-x^2}$ とするとき、$f(0)$ を求める。

1. 問題の内容

(1) $\frac{1}{1-x^2} = \frac{a}{1+x} + \frac{b}{1-x}$ となるような定数 $a, b$ を求める。

(2) $f(x) = \frac{1}{1-x^2}$ とするとき、$f(0)$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) 与えられた式 $\frac{1}{1-x^2} = \frac{a}{1+x} + \frac{b}{1-x}$ の右辺を通分する。

$\frac{a}{1+x} + \frac{b}{1-x} = \frac{a(1-x) + b(1+x)}{(1+x)(1-x)} = \frac{a - ax + b + bx}{1-x^2} = \frac{(a+b) + (b-a)x}{1-x^2}$

これより、$\frac{1}{1-x^2} = \frac{(a+b) + (b-a)x}{1-x^2}$ である。分母が等しいので、分子も等しい必要がある。したがって、以下の連立方程式が成り立つ。

$a+b = 1$

$b-a = 0$

これらの式から、$a = b$ であり、$2a = 1$ となるため、$a = \frac{1}{2}$、$b = \frac{1}{2}$ である。

(2) 関数 $f(x) = \frac{1}{1-x^2}$ に対して、$f(0)$ を求める。これは、$x=0$ を代入するだけである。

$f(0) = \frac{1}{1-0^2} = \frac{1}{1-0} = \frac{1}{1} = 1$

3. 最終的な答え

(1) $a = \frac{1}{2}, b = \frac{1}{2}$

(2) $f(0) = 1$