2次方程式 $x^2 - 2mx - m + 6 = 0$ が異なる2つの正の解を持つときの、定数 $m$ の値の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 - 2mx - m + 6 = 0$ が異なる2つの正の解を持つときの、定数 $m$ の値の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 2次方程式が異なる2つの実数解を持つ条件を考えます。判別式 $D$ が $D > 0$ であればよいです。

(2) 2つの解がともに正である条件を考えます。2つの解を $\alpha$, $\beta$ とすると、$\alpha > 0$ かつ $\beta > 0$ となる条件は、解と係数の関係から $\alpha + \beta > 0$ かつ $\alpha\beta > 0$ となります。

(3) (1)と(2)の条件を両方満たす $m$ の範囲を求めます。

まず、判別式 $D$ を計算します。

$D = (-2m)^2 - 4(1)(-m+6) = 4m^2 + 4m - 24$

$D > 0$ より、

$4m^2 + 4m - 24 > 0$

$m^2 + m - 6 > 0$

$(m+3)(m-2) > 0$

よって、$m < -3$ または $m > 2$ ...(1)

次に、解と係数の関係より、

$\alpha + \beta = 2m$

$\alpha\beta = -m+6$

$\alpha + \beta > 0$ より、$2m > 0$ なので、$m > 0$ ...(2)

$\alpha\beta > 0$ より、$-m+6 > 0$ なので、$m < 6$ ...(3)

(1), (2), (3) を全て満たす $m$ の範囲を求めます。

$m < -3$ または $m > 2$

$m > 0$

$m < 6$

数直線を書くと分かりやすいですが、$2 < m < 6$ となります。

3. 最終的な答え

$2 < m < 6$