次の3つの問題に答えます。 (1) 直線 $y = 2x + a$ と双曲線 $x^2 - y^2 = 1$ が異なる2点で交わるような $a$ の値の範囲を求めます。 (2) 直線 $y = mx + 3$ と楕円 $4x^2 + 9y^2 = 36$ が接するような $m$ の値を求めます。また、その接点の座標も求めます。 (3) 直線 $x + by = 2$ と放物線 $y^2 = -8x$ が共有点をもたないような $b$ の値を求めます。

1. 問題の内容

次の3つの問題に答えます。

(1) 直線 $y = 2x + a$ と双曲線 $x^2 - y^2 = 1$ が異なる2点で交わるような $a$ の値の範囲を求めます。

(2) 直線 $y = mx + 3$ と楕円 $4x^2 + 9y^2 = 36$ が接するような $m$ の値を求めます。また、その接点の座標も求めます。

(3) 直線 $x + by = 2$ と放物線 $y^2 = -8x$ が共有点をもたないような $b$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 直線 $y = 2x + a$ を双曲線 $x^2 - y^2 = 1$ に代入します。

$x^2 - (2x + a)^2 = 1$

$x^2 - (4x^2 + 4ax + a^2) = 1$

$-3x^2 - 4ax - a^2 - 1 = 0$

$3x^2 + 4ax + a^2 + 1 = 0$

異なる2点で交わる条件は、この2次方程式が異なる2つの実数解を持つことです。したがって、判別式 $D > 0$ が必要です。

$D = (4a)^2 - 4(3)(a^2 + 1) = 16a^2 - 12a^2 - 12 = 4a^2 - 12$

$4a^2 - 12 > 0$

$a^2 > 3$

$a < -\sqrt{3}$ または $a > \sqrt{3}$

(2) 直線 $y = mx + 3$ を楕円 $4x^2 + 9y^2 = 36$ に代入します。

$4x^2 + 9(mx + 3)^2 = 36$

$4x^2 + 9(m^2x^2 + 6mx + 9) = 36$

$4x^2 + 9m^2x^2 + 54mx + 81 = 36$

$(4 + 9m^2)x^2 + 54mx + 45 = 0$

接する条件は、この2次方程式が重解を持つことです。したがって、判別式 $D = 0$ が必要です。

$D = (54m)^2 - 4(4 + 9m^2)(45) = 0$

$2916m^2 - 180(4 + 9m^2) = 0$

$2916m^2 - 720 - 1620m^2 = 0$

$1296m^2 = 720$

$m^2 = \frac{720}{1296} = \frac{5}{9}$

$m = \pm \frac{\sqrt{5}}{3}$

$m = \frac{\sqrt{5}}{3}$ のとき、

$(4 + 9(\frac{5}{9}))x^2 + 54(\frac{\sqrt{5}}{3})x + 45 = 0$

$9x^2 + 18\sqrt{5}x + 45 = 0$

$x^2 + 2\sqrt{5}x + 5 = 0$

$(x + \sqrt{5})^2 = 0$

$x = -\sqrt{5}$

$y = \frac{\sqrt{5}}{3}(-\sqrt{5}) + 3 = -\frac{5}{3} + 3 = \frac{4}{3}$

接点は $(-\sqrt{5}, \frac{4}{3})$

$m = -\frac{\sqrt{5}}{3}$ のとき、

$(4 + 9(\frac{5}{9}))x^2 + 54(-\frac{\sqrt{5}}{3})x + 45 = 0$

$9x^2 - 18\sqrt{5}x + 45 = 0$

$x^2 - 2\sqrt{5}x + 5 = 0$

$(x - \sqrt{5})^2 = 0$

$x = \sqrt{5}$

$y = -\frac{\sqrt{5}}{3}(\sqrt{5}) + 3 = -\frac{5}{3} + 3 = \frac{4}{3}$

接点は $(\sqrt{5}, \frac{4}{3})$

(3) 直線 $x + by = 2$ を $x = 2 - by$ と変形し、放物線 $y^2 = -8x$ に代入します。

$y^2 = -8(2 - by)$

$y^2 = -16 + 8by$

$y^2 - 8by + 16 = 0$

共有点をもたない条件は、この2次方程式が実数解を持たないことです。したがって、判別式 $D < 0$ が必要です。

$D = (-8b)^2 - 4(1)(16) = 64b^2 - 64$

$64b^2 - 64 < 0$

$b^2 < 1$

$-1 < b < 1$

3. 最終的な答え

(1) $a < -\sqrt{3}$ または $a > \sqrt{3}$

(2) $m = \pm \frac{\sqrt{5}}{3}$ 、接点は $m = \frac{\sqrt{5}}{3}$ のとき $(-\sqrt{5}, \frac{4}{3})$、$m = -\frac{\sqrt{5}}{3}$ のとき $(\sqrt{5}, \frac{4}{3})$

(3) $-1 < b < 1$