与えられた2次関数 $y = 2x^2 + 8x + 5$ を $y = a(x-p)^2 + q$ の形に変形し、グラフの軸と頂点を求め、グラフを描く問題です。

1. 問題の内容

与えられた2次関数 $y = 2x^2 + 8x + 5$ を $y = a(x-p)^2 + q$ の形に変形し、グラフの軸と頂点を求め、グラフを描く問題です。

2. 解き方の手順

2次関数 $y = 2x^2 + 8x + 5$ を平方完成します。

まず、$x^2$ の係数で $x^2$ と $x$ の項をくくります。

$y = 2(x^2 + 4x) + 5$

次に、括弧の中を平方完成します。$x^2 + 4x$ を平方完成するには、$(x + 2)^2 = x^2 + 4x + 4$ となるように $4$ を足して引きます。

$y = 2(x^2 + 4x + 4 - 4) + 5$

$y = 2((x + 2)^2 - 4) + 5$

括弧を外し、$定数項を計算します。

$y = 2(x + 2)^2 - 8 + 5$

$y = 2(x + 2)^2 - 3$

したがって、与えられた2次関数は、$y = 2(x + 2)^2 - 3$ と変形できます。

グラフの軸は $x = -2$ で、頂点は $(-2, -3)$ です。

グラフを描くには、いくつかの点を見つける必要があります。頂点は $(-2, -3)$ です。$x = -1$ のとき、$y = 2(-1 + 2)^2 - 3 = 2(1)^2 - 3 = -1$ です。したがって、点 $(-1, -1)$ はグラフ上にあります。$x = -3$ のとき、$y = 2(-3 + 2)^2 - 3 = 2(-1)^2 - 3 = -1$ です。したがって、点 $(-3, -1)$ はグラフ上にあります。

$x=0$のとき、$y = 2(0 + 2)^2 - 3 = 2(2)^2 - 3 = 8-3=5$

グラフにこれらの点を描き、滑らかな曲線でつなぎます。

3. 最終的な答え

2次関数の式：$y = 2(x + 2)^2 - 3$

軸：$x = -2$

頂点：$(-2, -3)$

グラフ：（グラフ用紙に上記の頂点と点をプロットし、滑らかな曲線で結ぶ）