2次関数 $f(x) = x^2 - 4x + 7$ が与えられている。$y=f(x)$ のグラフを $x$ 軸方向に $a-2$, $y$ 軸方向に $-5$ だけ平行移動したグラフを表す2次関数を $g(x)$ とする。ただし、$a$ は正の定数である。 (1) $y=f(x)$ のグラフの頂点の座標を求める。 (2) $y=g(x)$ のグラフの頂点の座標を $a$ を用いて表し、$a=3$ のとき、$0 \le x \le 4$ における $g(x)$ の最大値と最小値を求める。 (3) $0 \le x \le 4$ における $g(x)$ の最大値を $M$, 最小値を $m$ とする。$M-2m=9$ となるような $a$ の値を求める。

1. 問題の内容

2次関数 $f(x) = x^2 - 4x + 7$ が与えられている。$y=f(x)$ のグラフを $x$ 軸方向に $a-2$, $y$ 軸方向に $-5$ だけ平行移動したグラフを表す2次関数を $g(x)$ とする。ただし、$a$ は正の定数である。

(1) $y=f(x)$ のグラフの頂点の座標を求める。

(2) $y=g(x)$ のグラフの頂点の座標を $a$ を用いて表し、$a=3$ のとき、$0 \le x \le 4$ における $g(x)$ の最大値と最小値を求める。

(3) $0 \le x \le 4$ における $g(x)$ の最大値を $M$, 最小値を $m$ とする。$M-2m=9$ となるような $a$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = x^2 - 4x + 7$ を平方完成する。

$f(x) = (x-2)^2 - 4 + 7 = (x-2)^2 + 3$

よって、頂点の座標は $(2, 3)$ である。

(2) $g(x)$ は $f(x)$ を $x$ 軸方向に $a-2$, $y$ 軸方向に $-5$ だけ平行移動したものであるから、

$g(x) = f(x - (a-2)) - 5 = f(x - a + 2) - 5$

$g(x) = (x - a + 2)^2 - 4(x - a + 2) + 7 - 5 = (x - a + 2)^2 - 4x + 4a - 8 + 2 = (x - a + 2)^2 - 4x + 4a - 6$

平方完成すると、

$g(x) = (x - (a-2))^2 + 3 - 5 = (x - (a-2))^2 - 2$

よって、$y=g(x)$ のグラフの頂点の座標は $(a-2, -2)$ である。

次に、$a=3$ のとき、$g(x) = (x - (3-2))^2 - 2 = (x - 1)^2 - 2$ である。

$0 \le x \le 4$ における $g(x)$ の最大値と最小値を考える。

頂点の $x$ 座標は $1$ であるから、$0 \le x \le 4$ の範囲に含まれる。

よって、$x=1$ のとき、最小値 $g(1) = -2$ をとる。

また、$x=0$ のとき $g(0) = (0-1)^2 - 2 = 1 - 2 = -1$

$x=4$ のとき $g(4) = (4-1)^2 - 2 = 9 - 2 = 7$

したがって、$x=4$ のとき最大値 $7$ をとる。

(3) $0 \le x \le 4$ における $g(x) = (x - a + 2)^2 - 2$ の最大値を $M$, 最小値を $m$ とする。

頂点の $x$ 座標は $a-2$ である。

$M - 2m = 9$ となるような $a$ の値を求める。

(i) $a-2 \le 0$ のとき、すなわち $a \le 2$ のとき、

$0 \le x \le 4$ で $g(x)$ は増加関数であるから、$x=0$ で最小値 $m = g(0) = (0-a+2)^2 - 2 = (2-a)^2 - 2$ をとり、$x=4$ で最大値 $M = g(4) = (4-a+2)^2 - 2 = (6-a)^2 - 2$ をとる。

$M - 2m = (6-a)^2 - 2 - 2((2-a)^2 - 2) = (36 - 12a + a^2) - 2 - 2(4 - 4a + a^2) + 4 = 36 - 12a + a^2 - 2 - 8 + 8a - 2a^2 + 4 = -a^2 - 4a + 30$

$-a^2 - 4a + 30 = 9$ より、$a^2 + 4a - 21 = 0$

$(a+7)(a-3) = 0$ より、$a = -7, 3$

$a \le 2$ より、$a = -7$ であるが、$a$ は正の定数であるから不適。

(ii) $0 \le a-2 \le 4$ のとき、すなわち $2 \le a \le 6$ のとき、

$x = a-2$ で最小値 $m = -2$ をとる。

$M = \max\{g(0), g(4)\} = \max\{(2-a)^2 - 2, (6-a)^2 - 2\}$

$M - 2m = M - 2(-2) = M + 4 = 9$ より、$M = 5$

$(2-a)^2 - 2 = 5$ のとき $(2-a)^2 = 7$ より、$2-a = \pm \sqrt{7}$ より、$a = 2 \pm \sqrt{7}$

$(6-a)^2 - 2 = 5$ のとき $(6-a)^2 = 7$ より、$6-a = \pm \sqrt{7}$ より、$a = 6 \pm \sqrt{7}$

$2 \le a \le 6$ であることを考えると、

$a = 2 + \sqrt{7} \approx 2 + 2.645 = 4.645$

$a = 6 - \sqrt{7} \approx 6 - 2.645 = 3.355$

$g(0) = (2 - (2 + \sqrt{7}))^2 - 2 = (-\sqrt{7})^2 - 2 = 7 - 2 = 5$

$g(4) = (6 - (2 + \sqrt{7}))^2 - 2 = (4 - \sqrt{7})^2 - 2 = 16 - 8\sqrt{7} + 7 - 2 = 21 - 8\sqrt{7} \neq 5$

$g(0) = (2 - (6 - \sqrt{7}))^2 - 2 = (-4 + \sqrt{7})^2 - 2 = 16 - 8\sqrt{7} + 7 - 2 = 21 - 8\sqrt{7} \neq 5$

$g(4) = (6 - (6 - \sqrt{7}))^2 - 2 = (\sqrt{7})^2 - 2 = 7 - 2 = 5$

$a = 2 + \sqrt{7}$ のとき、$0 < |a-2| < 4$ なので、頂点から遠い方の端点が最大値をとる。$g(4) < g(0)$. $M=5$.

$a = 6 - \sqrt{7}$ のとき、$0 < |a-2| < 4$ なので、頂点から遠い方の端点が最大値をとる。$g(0) < g(4)$. $M=5$.

$M = 5$となるのは $2 + \sqrt{7} \le 4$, $a = 6 - \sqrt{7} \ge -4$ の時。

(iii) $a-2 > 4$ のとき、すなわち $a > 6$ のとき、

$0 \le x \le 4$ で $g(x)$ は減少関数であるから、$x=4$ で最小値 $m = (6-a)^2 - 2$ をとり、$x=0$ で最大値 $M = (2-a)^2 - 2$ をとる。

$M - 2m = (2-a)^2 - 2 - 2((6-a)^2 - 2) = (2-a)^2 - 2(6-a)^2 + 2 = 0$

$(a^2 - 4a + 4) - 2(a^2 - 12a + 36) + 2 = -a^2 + 20a - 66 = 9$

$a^2 - 20a + 75 = 0$

$(a-5)(a-15) = 0$

$a = 5, 15$

$a > 6$ より、$a = 15$

まとめると、

$a = 15$ である。

3. 最終的な答え

(1) (2, 3)

(2) $(a-2, -2)$, 最大値: 7, 最小値: -2

(3) $a = 15$