与えられた4つの等式が成り立つかどうかを判定し、成り立たない場合は右辺を修正して正しい等式に修正する問題です。

1. 問題の内容

与えられた4つの等式が成り立つかどうかを判定し、成り立たない場合は右辺を修正して正しい等式に修正する問題です。

2. 解き方の手順

(1) $\sqrt{-3} \sqrt{-5} = \sqrt{15}$

$\sqrt{-3} = \sqrt{3}i$, $\sqrt{-5} = \sqrt{5}i$ なので、

$\sqrt{-3} \sqrt{-5} = (\sqrt{3}i)(\sqrt{5}i) = \sqrt{15}i^2 = -\sqrt{15}$

したがって、元の式は成り立ちません。正しい式は

$\sqrt{-3}\sqrt{-5} = -\sqrt{15}$

(2) $\sqrt{2} \sqrt{-7} = \sqrt{-14}$

$\sqrt{-7} = \sqrt{7}i$ なので、

$\sqrt{2} \sqrt{-7} = \sqrt{2} \sqrt{7} i = \sqrt{14}i = \sqrt{-14}$

したがって、元の式は成り立ちます。

(3) $\frac{\sqrt{-2}}{\sqrt{5}} = \sqrt{\frac{-2}{5}}$

$\frac{\sqrt{-2}}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{2}i}{\sqrt{5}} = \sqrt{\frac{2}{5}}i = \sqrt{\frac{-2}{5}}$

したがって、元の式は成り立ちます。

(4) $\frac{1}{\sqrt{-3}} = \sqrt{-\frac{1}{3}}$

$\frac{1}{\sqrt{-3}} = \frac{1}{\sqrt{3}i} = \frac{1}{\sqrt{3}i} \cdot \frac{-i}{-i} = \frac{-i}{\sqrt{3}(-i^2)} = \frac{-i}{\sqrt{3}} = -\frac{i}{\sqrt{3}} = -\sqrt{\frac{1}{3}}i = -\sqrt{-\frac{1}{3}}$

したがって、元の式は成り立ちません。正しい式は

$\frac{1}{\sqrt{-3}} = -\sqrt{-\frac{1}{3}}$

3. 最終的な答え

(1) 成り立たない。正しい式は $\sqrt{-3}\sqrt{-5} = -\sqrt{15}$

(2) 成り立つ。

(3) 成り立つ。

(4) 成り立たない。正しい式は $\frac{1}{\sqrt{-3}} = -\sqrt{-\frac{1}{3}}$