与えられた特殊直交行列 $T = \frac{1}{11} \begin{pmatrix} 6 & 6 & -7 \\ -9 & 2 & -6 \\ -2 & 9 & 6 \end{pmatrix} \in SO(3)$ が表現する回転について、回転軸の方向ベクトル $\vec{l}$ と回転角 $\theta$ の余弦 $\cos \theta$ を求めます。

1. 問題の内容

与えられた特殊直交行列 $T = \frac{1}{11} \begin{pmatrix} 6 & 6 & -7 \\ -9 & 2 & -6 \\ -2 & 9 & 6 \end{pmatrix} \in SO(3)$ が表現する回転について、回転軸の方向ベクトル $\vec{l}$ と回転角 $\theta$ の余弦 $\cos \theta$ を求めます。

2. 解き方の手順

まず、回転軸の方向ベクトル $\vec{l}$ は、 $T \vec{l} = \vec{l}$ を満たす単位ベクトルです。つまり、$\vec{l}$ は行列 $T$ の固有値1に対応する固有ベクトルです。

したがって、$T \vec{l} = \vec{l}$ は $(T - I) \vec{l} = 0$ と書き換えられます。ここで、$I$ は単位行列です。

$T - I = \frac{1}{11} \begin{pmatrix} 6 & 6 & -7 \\ -9 & 2 & -6 \\ -2 & 9 & 6 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{11} \begin{pmatrix} -5 & 6 & -7 \\ -9 & -9 & -6 \\ -2 & 9 & -5 \end{pmatrix}$

したがって、

$\begin{pmatrix} -5 & 6 & -7 \\ -9 & -9 & -6 \\ -2 & 9 & -5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

この連立方程式を解きます。

-5x + 6y - 7z = 0

-9x - 9y - 6z = 0

-2x + 9y - 5z = 0

2番目の式を3で割ると

-3x - 3y - 2z = 0

1番目の式と3番目の式を足し合わせると、

-7x + 15y - 12z = 0

-3x - 3y - 2z = 0から、2z = -3x - 3y。　したがって、z = (-3/2)(x+y)

これを -5x + 6y - 7z = 0 に代入すると

-5x + 6y - 7*(-3/2)(x+y) = 0

-10x + 12y + 21x + 21y = 0

11x + 33y = 0

x = -3y

z = (-3/2)(x+y) = (-3/2)(-3y+y) = (-3/2)(-2y) = 3y

$\vec{l} = \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}y$

$\vec{l}$ は単位ベクトルなので、$\| \vec{l} \| = 1$ となるように正規化します。

$\| \vec{l} \| = \sqrt{(-3)^2 + 1^2 + 3^2} |y| = \sqrt{9 + 1 + 9} |y| = \sqrt{19} |y|$

したがって、$\sqrt{19} |y| = 1$ より、$y = \pm \frac{1}{\sqrt{19}}$.

$y = \frac{1}{\sqrt{19}}$ とすると、$\vec{l} = \frac{1}{\sqrt{19}} \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}$

次に、$\cos \theta$ を求めます。

$\cos \theta = \frac{Tr(T) - 1}{2}$

$Tr(T) = \frac{6 + 2 + 6}{11} = \frac{14}{11}$

$\cos \theta = \frac{\frac{14}{11} - 1}{2} = \frac{\frac{3}{11}}{2} = \frac{3}{22}$

3. 最終的な答え

回転軸の方向ベクトル: $\vec{l} = \frac{1}{\sqrt{19}} \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}$

回転角の余弦: $\cos \theta = \frac{3}{22}$