与えられた条件を満たす2次関数を求める問題です。具体的には、 (1) 頂点の座標と通る点が与えられたとき (2) 通る3点が与えられたとき のそれぞれの場合について、2次関数を決定します。

1. 問題の内容

与えられた条件を満たす2次関数を求める問題です。具体的には、

(1) 頂点の座標と通る点が与えられたとき

(2) 通る3点が与えられたとき

のそれぞれの場合について、2次関数を決定します。

2. 解き方の手順

(1) 頂点の座標と通る点が与えられた場合

* 頂点の座標が $(p, q)$ である2次関数は、$y = a(x-p)^2 + q$ と表せます。

* この式に、与えられた点 $(x, y)$ の座標を代入し、$a$ について解きます。

* 求めた $a$ の値を $y = a(x-p)^2 + q$ に代入し、2次関数を求めます。

(2) 通る3点が与えられた場合

* 一般形 $y = ax^2 + bx + c$ に、与えられた3点の座標をそれぞれ代入し、3つの式を得ます。

* 得られた3つの式を連立方程式として解き、$a, b, c$ を求めます。

* 求めた $a, b, c$ の値を $y = ax^2 + bx + c$ に代入し、2次関数を求めます。

具体的な計算：

(1) 頂点が $(2, 15)$ であり、点 $(1, 13)$ を通る。

$y = a(x-2)^2 + 15$ に $(1, 13)$ を代入すると、

$13 = a(1-2)^2 + 15$

$13 = a + 15$

$a = -2$

よって、求める2次関数は $y = -2(x-2)^2 + 15$

展開して整理すると、$y = -2(x^2 - 4x + 4) + 15 = -2x^2 + 8x - 8 + 15 = -2x^2 + 8x + 7$

(2) 3点 $(1, 6)$, $(-1, 0)$, $(-2, 3)$ を通る。

$y = ax^2 + bx + c$ に各点を代入すると、

$6 = a + b + c$ ...(1)

$0 = a - b + c$ ...(2)

$3 = 4a - 2b + c$ ...(3)

(1)-(2)より、$6 = 2b$ つまり $b=3$

(1)に$b=3$を代入すると、$6 = a + 3 + c$ つまり $a + c = 3$ ...(4)

(3)に$b=3$を代入すると、$3 = 4a - 6 + c$ つまり $4a + c = 9$ ...(5)

(5)-(4)より、$3a = 6$ つまり $a=2$

(4)に$a=2$を代入すると、$2 + c = 3$ つまり $c=1$

よって、$a=2, b=3, c=1$

したがって、求める2次関数は $y = 2x^2 + 3x + 1$

3. 最終的な答え

(1) $y = -2x^2 + 8x + 7$

(2) $y = 2x^2 + 3x + 1$