与えられた条件文において、ウとエに当てはまるものを選択肢(0〜3)の中から選びます。 (1) $x=y$であることは、$x^2=y^2$であるための（ウ）。 (2) $xy$が有理数であることは、$x$と$y$がともに有理数であるための（エ）。 選択肢は以下の通りです。 0. 必要十分条件である 1. 必要条件であるが、十分条件ではない

1. 問題の内容

与えられた条件文において、ウとエに当てはまるものを選択肢(0〜3)の中から選びます。

(1) $x=y$であることは、$x^2=y^2$であるための（ウ）。

(2) $xy$が有理数であることは、$x$と$y$がともに有理数であるための（エ）。

選択肢は以下の通りです。

0. 必要十分条件である

1. 必要条件であるが、十分条件ではない

2. 十分条件であるが、必要条件ではない

3. 必要条件でも十分条件でもない

2. 解き方の手順

(1) $x=y$であることは、$x^2=y^2$であるための（ウ）を考えます。

- $x=y$ ならば、$x^2 = x \cdot x = y \cdot y = y^2$ なので、$x=y \implies x^2 = y^2$ は真です。つまり、$x=y$ は $x^2 = y^2$ であるための十分条件です。

- $x^2 = y^2$ ならば、$x = \pm y$ なので、$x=y$ とは限りません。反例として、$x=1, y=-1$ を考えると、$x^2 = 1 = y^2$ ですが、$x \neq y$ です。したがって、$x^2 = y^2 \implies x=y$ は偽です。つまり、$x=y$ は $x^2 = y^2$ であるための必要条件ではありません。

したがって、$x=y$は$x^2=y^2$であるための十分条件であるが、必要条件ではないので、選択肢2が該当します。

(2) $xy$が有理数であることは、$x$と$y$がともに有理数であるための（エ）を考えます。

- $x$と$y$がともに有理数ならば、$xy$は有理数です。したがって、$x, y \in \mathbb{Q} \implies xy \in \mathbb{Q}$ は真です。つまり、$x$と$y$がともに有理数であることは、$xy$が有理数であるための十分条件です。

- $xy$が有理数であっても、$x$と$y$がともに有理数とは限りません。例えば、$x=\sqrt{2}, y=\sqrt{2}$とすると、$xy = \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2$となり有理数ですが、$x$と$y$は無理数です。したがって、$xy \in \mathbb{Q} \implies x, y \in \mathbb{Q}$ は偽です。つまり、$x$と$y$がともに有理数であることは、$xy$が有理数であるための必要条件ではありません。

したがって、$x$と$y$がともに有理数であることは、$xy$が有理数であるための十分条件であるが、必要条件ではないので、選択肢2が該当します。

3. 最終的な答え

ウ：2

エ：2