底辺の長さと高さの和が8cmである三角形において、底辺の長さを $x$ cmとするとき、三角形の面積が最大となる $x$ の値とその最大値を求める。

1. 問題の内容

底辺の長さと高さの和が8cmである三角形において、底辺の長さを $x$ cmとするとき、三角形の面積が最大となる $x$ の値とその最大値を求める。

2. 解き方の手順

三角形の底辺の長さを $x$ cmとすると、高さは $(8-x)$ cmとなる。三角形の面積を $S$ とすると、

$S = \frac{1}{2} x (8-x)$

$S = \frac{1}{2} (8x - x^2)$

$S = -\frac{1}{2} x^2 + 4x$

$S$ を最大にする $x$ を求めるために、平方完成を行う。

$S = -\frac{1}{2} (x^2 - 8x)$

$S = -\frac{1}{2} ((x - 4)^2 - 16)$

$S = -\frac{1}{2} (x - 4)^2 + 8$

$S$ は $x = 4$ のとき最大値8をとる。

$0 < x < 8$ であるので、$x=4$ はこの範囲を満たす。

3. 最終的な答え

$x = 4$ のとき、三角形の面積は最大となり、その最大値は8である。

したがって、$x$ の値は 4 cm、最大値は 8 $cm^2$ である。