与えられた多項式を因数分解する問題です。 特に、$x^2$ を $X$ とおき、「2乗-2乗」の形にすることを指示されています。

1. 問題の内容

与えられた多項式を因数分解する問題です。 特に、$x^2$ を $X$ とおき、「2乗-2乗」の形にすることを指示されています。

2. 解き方の手順

与えられた多項式の中から、指示されているように $x^2$ を $X$ とおき、「2乗-2乗」の形に因数分解できるものを選んで因数分解します。

(1) $x^4-1 = (x^2)^2 - 1^2 = (x^2-1)(x^2+1) = (x-1)(x+1)(x^2+1)$

(2) $x^4 - 5x^2 - 36 = (x^2 - 9)(x^2 + 4) = (x-3)(x+3)(x^2+4)$

(3) $x^4 - 17x^2 + 16 = (x^2 - 16)(x^2 - 1) = (x-4)(x+4)(x-1)(x+1)$

(4) $x^4 + x^2 + 1 = (x^2+1)^2 - x^2 = (x^2+1-x)(x^2+1+x) = (x^2-x+1)(x^2+x+1)$

(5) $x^4 - 3x^2 + 1 = (x^2+1)^2 - 5x^2 = (x^2+1 - \sqrt{5}x)(x^2+1+\sqrt{5}x) = (x^2-\sqrt{5}x+1)(x^2+\sqrt{5}x+1)$

(6) $x^4 - 8x^2 + 4 = (x^2-2)^2 - 4x^2 = (x^2-2x-2)(x^2+2x-2)$

(7) $4x^4 - 37x^2 + 9 = (4x^2-1)(x^2-9) = (2x-1)(2x+1)(x-3)(x+3)$

(8) $x^4 - 5x^2 + 4 = (x^2 - 4)(x^2 - 1) = (x-2)(x+2)(x-1)(x+1)$

(9) $x^4 + 4 = (x^2+2)^2 - 4x^2 = (x^2-2x+2)(x^2+2x+2)$

3. 最終的な答え

(1) $(x-1)(x+1)(x^2+1)$

(2) $(x-3)(x+3)(x^2+4)$

(3) $(x-4)(x+4)(x-1)(x+1)$

(4) $(x^2-x+1)(x^2+x+1)$

(5) $(x^2-\sqrt{5}x+1)(x^2+\sqrt{5}x+1)$

(6) $(x^2-2x-2)(x^2+2x-2)$

(7) $(2x-1)(2x+1)(x-3)(x+3)$

(8) $(x-2)(x+2)(x-1)(x+1)$

(9) $(x^2-2x+2)(x^2+2x+2)$