$a$は正の定数とする。関数$y = x^2 - 2x - 1$ ($0 \le x \le a$)について、以下の問いに答える。 (1) 最小値を求めよ。 (2) 最大値を求めよ。

1. 問題の内容

$a$は正の定数とする。関数$y = x^2 - 2x - 1$ ($0 \le x \le a$)について、以下の問いに答える。

(1) 最小値を求めよ。

(2) 最大値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$y = x^2 - 2x - 1$を平方完成する。

$y = (x - 1)^2 - 2$

よって、この関数の軸は$x = 1$である。

(1) 最小値を求める。

定義域$0 \le x \le a$と軸$x = 1$の位置関係で場合分けする。

(i) $a < 1$のとき、定義域内で単調減少なので、$x = a$で最小値をとる。

最小値は、$y = a^2 - 2a - 1$

(ii) $a \ge 1$のとき、軸$x = 1$が定義域に含まれるので、$x = 1$で最小値をとる。

最小値は、$y = -2$

(2) 最大値を求める。

定義域$0 \le x \le a$と軸$x = 1$、および$x = 0$と$x = a$の値の関係で場合分けする。

(i) $0 < a < 2$のとき、$x = 0$の方が軸から遠いので、$x=0$で最大値をとる。

最大値は $y = 0^2 - 2*0 - 1 = -1$

(ii) $a = 2$ のとき、$x=0$と$x=2$で同じ値をとる

最大値は $y = 0^2 - 2*0 - 1 = -1$　あるいは $y = 2^2 - 2*2 - 1 = -1$

(iii) $a > 2$のとき、$x = a$の方が軸から遠いので、$x=a$で最大値をとる。

最大値は、$y = a^2 - 2a - 1$

まとめると

(1)

$0 < a < 1$のとき、最小値 $a^2 - 2a - 1$

$a \ge 1$のとき、最小値 $-2$

(2)

$0 < a \le 2$のとき、最大値 $-1$

$a > 2$のとき、最大値 $a^2 - 2a - 1$

3. 最終的な答え

(1)

$0 < a < 1$ のとき、最小値：$a^2 - 2a - 1$

$a \ge 1$ のとき、最小値：$-2$

(2)

$0 < a \le 2$ のとき、最大値：$-1$

$a > 2$ のとき、最大値：$a^2 - 2a - 1$