問題5の(1)から(3)までを因数分解する問題です。 (1) $2x^2 + 5xy + 2y^2 + 4x - y - 6$ (2) $(a+b)(b+c)(c+a) + abc$ (3) $(x-1)(x-3)(x-5)(x-7) + 15$

1. 問題の内容

問題5の(1)から(3)までを因数分解する問題です。

(1) $2x^2 + 5xy + 2y^2 + 4x - y - 6$

(2) $(a+b)(b+c)(c+a) + abc$

(3) $(x-1)(x-3)(x-5)(x-7) + 15$

2. 解き方の手順

(1) $2x^2 + 5xy + 2y^2 + 4x - y - 6$

まず、$x$ について整理します。

$2x^2 + (5y+4)x + (2y^2 - y - 6)$

次に、$2y^2 - y - 6$ を因数分解します。

$2y^2 - y - 6 = (2y+3)(y-2)$

与式は次のようになります。

$2x^2 + (5y+4)x + (2y+3)(y-2)$

たすき掛けで因数分解します。

$\begin{array}{c c c}

2x & (y+2) & 2x+y-3\\

x & (2y+3) & 4x+4y+6 \\

\end{array}$

上のたすき掛けではうまくいかないので、

$\begin{array}{c c c}

2x & (2y+3) & 4x+2y+3\\

x & (y-2) & x+y-2\\

\end{array}$

よって、

$2x^2 + (5y+4)x + (2y+3)(y-2) = (2x+y-2)(x+2y+3)$

(2) $(a+b)(b+c)(c+a) + abc$

展開して整理します。

$(a+b)(bc+c^2+b^2+bc) + abc = (a+b)(b^2+c^2+2bc) + abc$

$= ab^2 + ac^2 + 2abc + b^3 + bc^2 + 2b^2c + abc = ab^2 + ac^2 + 3abc + b^3 + bc^2 + 2b^2c$

$= b^3 + ab^2 + 2b^2c + bc^2 + ac^2 + 3abc$

$= b^3 + ab^2 + 2b^2c + bc^2 + 3abc + ac^2$

$= b^2(a+b+2c) + c(a+b)(a+2b) +ac^2= (a+b)(b+c)(c+a) + abc = (a+b)(bc+c^2+b^2+bc)+abc$

$= (a+b)(b^2+c^2+2bc) + abc = (a+b)((b+c)^2)+abc = (a+b)(b+c)(b+c) + abc$

$= (a+b)(b+c)(c+a)+abc = (a+b+c)(ab+bc+ca)$

$(a+b)(b+c)(c+a) + abc = (a+b+c)(ab+bc+ca)$

(3) $(x-1)(x-3)(x-5)(x-7) + 15$

$(x-1)(x-7)(x-3)(x-5) + 15 = (x^2 - 8x + 7)(x^2 - 8x + 15) + 15$

$X = x^2 - 8x$ と置くと、

$(X+7)(X+15) + 15 = X^2 + 22X + 105 + 15 = X^2 + 22X + 120 = (X+10)(X+12)$

$X$ を元に戻すと、

$(x^2 - 8x + 10)(x^2 - 8x + 12) = (x^2 - 8x + 10)(x-2)(x-6)$

3. 最終的な答え

(1) $(2x+y-2)(x+2y+3)$

(2) $(a+b+c)(ab+bc+ca)$

(3) $(x^2 - 8x + 10)(x-2)(x-6)$