不等式 $-x^2 + 4x - 1 > 0$ を解く。

1. 問題の内容

不等式 $-x^2 + 4x - 1 > 0$ を解く。

2. 解き方の手順

まず、不等式の両辺に $-1$ をかけて、不等号の向きを変えます。

$x^2 - 4x + 1 < 0$

次に、$x^2 - 4x + 1 = 0$ の解を求めます。これは二次方程式なので、解の公式を使って解きます。

解の公式は $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ です。

この問題では、$a=1$, $b=-4$, $c=1$ なので、

$x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(1)(1)}}{2(1)}$

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2}$

$x = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2}$

$x = \frac{4 \pm 2\sqrt{3}}{2}$

$x = 2 \pm \sqrt{3}$

したがって、$x^2 - 4x + 1 = 0$ の解は $x = 2 + \sqrt{3}$ と $x = 2 - \sqrt{3}$ です。

$x^2 - 4x + 1 < 0$ を満たす $x$ の範囲は、$2 - \sqrt{3} < x < 2 + \sqrt{3}$ となります。

3. 最終的な答え

$2 - \sqrt{3} < x < 2 + \sqrt{3}$