曲線 $y = \sqrt{x+2}$ と直線 $y = x + a$ について、以下の問いに答える。 (1) 共有点を持つときの定数 $a$ のとりうる値の範囲を求める。 (2) 共有点の数が2個であり、かつその共有点のy座標がともに正であるとき、$a$のとりうる値の範囲を求める。

1. 問題の内容

曲線 $y = \sqrt{x+2}$ と直線 $y = x + a$ について、以下の問いに答える。

(1) 共有点を持つときの定数 $a$ のとりうる値の範囲を求める。

(2) 共有点の数が2個であり、かつその共有点のy座標がともに正であるとき、$a$のとりうる値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

(1) 共有点を持つ条件

$y = \sqrt{x+2}$ と $y = x + a$ より、$x + a = \sqrt{x+2}$。両辺を2乗すると

$(x + a)^2 = x + 2$

$x^2 + 2ax + a^2 = x + 2$

$x^2 + (2a - 1)x + (a^2 - 2) = 0$

この2次方程式が実数解を持つ条件を考える。判別式を $D$ とすると

$D = (2a - 1)^2 - 4(a^2 - 2) = 4a^2 - 4a + 1 - 4a^2 + 8 = -4a + 9$

$D \geq 0$ より $-4a + 9 \geq 0$ つまり $a \leq \frac{9}{4}$。

また、$x+2 \geq 0$ より $x \geq -2$。$x + a \geq 0$ より $x \geq -a$。

判別式が0のとき、$x = \frac{-(2a-1)}{2} = \frac{1-2a}{2}$。

$x \geq -2$ より $\frac{1-2a}{2} \geq -2$ つまり $1 - 2a \geq -4$ よって $2a \leq 5$、$a \leq \frac{5}{2}$。

$x \geq -a$ より $\frac{1-2a}{2} \geq -a$ つまり $1 - 2a \geq -2a$ よって $1 \geq 0$。これは常に成り立つ。

ここで、$x = -2$ のとき $y = \sqrt{-2+2} = 0$。このとき $y = x+a$ に代入すると $0 = -2 + a$ より $a = 2$。

$x = -a$ のとき $y = \sqrt{-a+2}$。このとき $y = x+a$ に代入すると $y=0$。つまり $\sqrt{-a+2} = 0$。

$a = 2$ より、$a \leq \frac{9}{4}$ の条件と合わせて、$a \leq \frac{9}{4}$ が共有点を持つ条件。

(2) 共有点が2個でy座標がともに正

共有点が2個であるためには、$D > 0$ より $-4a + 9 > 0$ つまり $a < \frac{9}{4}$。

また、2つの共有点のy座標がともに正であるためには、$x+a > 0$ である必要がある。

$x^2 + (2a - 1)x + (a^2 - 2) = 0$ の解を $x_1$, $x_2$ とすると、$x_1+a>0$, $x_2+a>0$。

解と係数の関係より、$x_1 + x_2 = 1 - 2a$, $x_1x_2 = a^2 - 2$。

$x_1 + a + x_2 + a > 0$ より $x_1 + x_2 + 2a > 0$。したがって $1 - 2a + 2a > 0$ よって $1 > 0$。

$(x_1 + a)(x_2 + a) > 0$ より $x_1x_2 + a(x_1 + x_2) + a^2 > 0$

$a^2 - 2 + a(1 - 2a) + a^2 > 0$

$a^2 - 2 + a - 2a^2 + a^2 > 0$

$a - 2 > 0$

$a > 2$

$a > 2$ かつ $a < \frac{9}{4}$ より $2 < a < \frac{9}{4}$。

さらに、y座標が正である必要があるので、$x+a>0$ でなければならない。

$y=\sqrt{x+2}$ より，$x=y^2-2$となる。これを$y=x+a$に代入すると、$y=y^2-2+a$ つまり、$y^2-y+a-2=0$。

この2次方程式の解が2つとも正であるためには、$D>0$，$y_1+y_2>0$，$y_1y_2>0$を満たす必要がある。

$D=1-4(a-2)=9-4a>0$より$a<\frac{9}{4}$。

$y_1+y_2=1>0$。

$y_1y_2=a-2>0$より、$a>2$。

したがって、$2<a<\frac{9}{4}$。

3. 最終的な答え

共有点を持つときの $a$ のとりうる値の範囲は $a \leq \frac{9}{4}$。

共有点の数が2個でy座標がともに正であるときの $a$ のとりうる値の範囲は $2 < a < \frac{9}{4}$。