与えられた5つの小問に答えよ。 (1) $(2x+3y)(x-2y)-(2x-3y)(3x+2y)$ を展開し、整理する。 (2) $15x^2-11x-14$ を因数分解する。 (3) $(\sqrt{6}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-1)^2+(\sqrt{6}-\sqrt{2})(\sqrt{3}+1)^2$ を簡単にする。 (4) 連立不等式 $\begin{cases} \frac{x}{3}+1 \le \frac{x}{5}+2 \\ \frac{x-1}{3} < \frac{x+1}{2} \end{cases}$ を解く。 (5) 方程式 $|2-5x|=1$ を解く。

1. 問題の内容

与えられた5つの小問に答えよ。

(1) $(2x+3y)(x-2y)-(2x-3y)(3x+2y)$ を展開し、整理する。

(2) $15x^2-11x-14$ を因数分解する。

(3) $(\sqrt{6}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-1)^2+(\sqrt{6}-\sqrt{2})(\sqrt{3}+1)^2$ を簡単にする。

(4) 連立不等式 $\begin{cases} \frac{x}{3}+1 \le \frac{x}{5}+2 \\ \frac{x-1}{3} < \frac{x+1}{2} \end{cases}$ を解く。

(5) 方程式 $|2-5x|=1$ を解く。

2. 解き方の手順

(1) $(2x+3y)(x-2y)-(2x-3y)(3x+2y)$ を展開する。

\begin{align*} (2x+3y)(x-2y)-(2x-3y)(3x+2y) &= (2x^2 -4xy +3xy -6y^2) - (6x^2 +4xy -9xy -6y^2) \\ &= 2x^2 -xy -6y^2 - (6x^2 -5xy -6y^2) \\ &= 2x^2 -xy -6y^2 -6x^2 +5xy +6y^2 \\ &= -4x^2 + 4xy\end{aligned}

(2) $15x^2-11x-14$ を因数分解する。

$15x^2 - 11x - 14 = (3x+2)(5x-7)$

(3) $(\sqrt{6}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-1)^2+(\sqrt{6}-\sqrt{2})(\sqrt{3}+1)^2$ を簡単にする。

\begin{align*} (\sqrt{6}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-1)^2+(\sqrt{6}-\sqrt{2})(\sqrt{3}+1)^2 &= (\sqrt{6}+\sqrt{2})(3-2\sqrt{3}+1) + (\sqrt{6}-\sqrt{2})(3+2\sqrt{3}+1) \\ &= (\sqrt{6}+\sqrt{2})(4-2\sqrt{3}) + (\sqrt{6}-\sqrt{2})(4+2\sqrt{3}) \\ &= 4\sqrt{6} -2\sqrt{18} + 4\sqrt{2} - 2\sqrt{6} + 4\sqrt{6} + 2\sqrt{18} -4\sqrt{2} -2\sqrt{6} \\ &= 4\sqrt{6} - 6\sqrt{2} + 4\sqrt{2} - 2\sqrt{6} + 4\sqrt{6} + 6\sqrt{2} -4\sqrt{2} -2\sqrt{6} \\ &= (4-2+4-2)\sqrt{6} + (-6+4+6-4)\sqrt{2} \\ &= 4\sqrt{6} + 0\sqrt{2} = 4\sqrt{6}\end{align*}

(4) 連立不等式を解く。

$\begin{cases} \frac{x}{3}+1 \le \frac{x}{5}+2 \\ \frac{x-1}{3} < \frac{x+1}{2} \end{cases}$

1つ目の不等式: $\frac{x}{3}+1 \le \frac{x}{5}+2 \Rightarrow 5x + 15 \le 3x + 30 \Rightarrow 2x \le 15 \Rightarrow x \le \frac{15}{2}$

2つ目の不等式: $\frac{x-1}{3} < \frac{x+1}{2} \Rightarrow 2(x-1) < 3(x+1) \Rightarrow 2x-2 < 3x+3 \Rightarrow -5 < x \Rightarrow x > -5$

よって、 $-5 < x \le \frac{15}{2}$

(5) 方程式 $|2-5x|=1$ を解く。

$|2-5x| = 1$ より、 $2-5x = 1$ または $2-5x = -1$

$2-5x = 1 \Rightarrow -5x = -1 \Rightarrow x = \frac{1}{5}$

$2-5x = -1 \Rightarrow -5x = -3 \Rightarrow x = \frac{3}{5}$

よって、 $x = \frac{1}{5}, \frac{3}{5}$

3. 最終的な答え

(1) $-4x^2+4xy$

(2) $(3x+2)(5x-7)$

(3) $4\sqrt{6}$

(4) $-5 < x \le \frac{15}{2}$

(5) $x=\frac{1}{5}, \frac{3}{5}$