$a = \frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}$、$b = |2\sqrt{2}-3|$とする。 (1) $a$の分母を有理化し、簡単にせよ。 (2) $a+b$の値を求めよ。また、$(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2$の値を求めよ。 (3) $\frac{\sqrt{2a}-\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} - \frac{\sqrt{a}+\sqrt{2b}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}$の値を求めよ。

はい、承知いたしました。問題文を読み解き、丁寧に解答します。

1. 問題の内容

$a = \frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}$、$b = |2\sqrt{2}-3|$とする。

(1) $a$の分母を有理化し、簡単にせよ。

(2) $a+b$の値を求めよ。また、$(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2$の値を求めよ。

(3) $\frac{\sqrt{2a}-\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} - \frac{\sqrt{a}+\sqrt{2b}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}$の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $a$の分母の有理化

$a = \frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}$ の分母を有理化するために、分母と分子に$\sqrt{2}+1$を掛けます。

$a = \frac{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}+1)}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)} = \frac{(\sqrt{2}+1)^2}{(\sqrt{2})^2 - 1^2} = \frac{2 + 2\sqrt{2} + 1}{2-1} = \frac{3 + 2\sqrt{2}}{1} = 3 + 2\sqrt{2}$

(2) $a+b$の計算と$(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2$の計算

まず、$b = |2\sqrt{2}-3|$ の絶対値を外します。$2\sqrt{2} = \sqrt{8}$ であり、$3 = \sqrt{9}$ ですから、$2\sqrt{2} < 3$ となり、$2\sqrt{2}-3 < 0$ です。したがって、$b = |2\sqrt{2}-3| = -(2\sqrt{2}-3) = 3 - 2\sqrt{2}$ となります。

$a+b = (3 + 2\sqrt{2}) + (3 - 2\sqrt{2}) = 6$

次に、$(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2$を計算します。

$(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2 = a + 2\sqrt{a}\sqrt{b} + b = a + b + 2\sqrt{ab}$

$ab = (3 + 2\sqrt{2})(3 - 2\sqrt{2}) = 3^2 - (2\sqrt{2})^2 = 9 - 8 = 1$

よって、$\sqrt{ab} = \sqrt{1} = 1$

$(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2 = a + b + 2\sqrt{ab} = 6 + 2(1) = 8$

(3) 式の計算

$\frac{\sqrt{2a}-\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} - \frac{\sqrt{a}+\sqrt{2b}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}$ を計算します。

$a = 3+2\sqrt{2}$, $b = 3-2\sqrt{2}$ なので、

$2a = 6 + 4\sqrt{2}$, $2b = 6 - 4\sqrt{2}$ となります。

$\frac{\sqrt{2a}-\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} - \frac{\sqrt{a}+\sqrt{2b}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}} = \frac{(\sqrt{2a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b}) - (\sqrt{a}+\sqrt{2b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})}$

$= \frac{\sqrt{2a}\sqrt{a} - \sqrt{2a}\sqrt{b} - \sqrt{b}\sqrt{a} + b - (a + \sqrt{a}\sqrt{b} + \sqrt{2b}\sqrt{a} + \sqrt{2b}\sqrt{b})}{a - b}$

$= \frac{\sqrt{2}a - \sqrt{2ab} - \sqrt{ab} + b - a - \sqrt{ab} - \sqrt{2ab} - \sqrt{2}b}{a - b}$

$= \frac{\sqrt{2}a - 2\sqrt{2ab} - 2\sqrt{ab} + b - a - \sqrt{2}b}{a - b}$

$ab = (3+2\sqrt{2})(3-2\sqrt{2})=9-8=1$, $\sqrt{ab}=1$

$= \frac{\sqrt{2}(a-b) - 2\sqrt{2} - 2 + (b-a)}{a-b} = \frac{\sqrt{2}(a-b) - 2\sqrt{2} - 2 - (a-b)}{a-b}$

$= \frac{(\sqrt{2}-1)(a-b) - 2(\sqrt{2}+1)}{a-b}$

$a-b = (3+2\sqrt{2}) - (3-2\sqrt{2}) = 4\sqrt{2}$

$= \frac{(\sqrt{2}-1)(4\sqrt{2}) - 2(\sqrt{2}+1)}{4\sqrt{2}} = \frac{8 - 4\sqrt{2} - 2\sqrt{2} - 2}{4\sqrt{2}} = \frac{6 - 6\sqrt{2}}{4\sqrt{2}} = \frac{3(1-\sqrt{2})}{2\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}(1-\sqrt{2})}{2(2)} = \frac{3(\sqrt{2}-2)}{4} = \frac{3\sqrt{2}}{4} - \frac{3}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $a = 3 + 2\sqrt{2}$

(2) $a+b = 6$, $(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2 = 8$

(3) $\frac{3\sqrt{2}}{4} - \frac{3}{2}$