ある旅行会社が企画したバスツアーに関する問題です。参加者の人数に応じて、一律にかかる費用と1名ごとにかかる費用が変動します。参加人数を$x$、1人あたりの参加料を$a$としたとき、以下の問いに答えます。 (1) $x=14$のとき、利益が76000円となるような$a$の値を求めます。 (2) $x=20$のときの利益を$A$円、$x=30$のときの利益を$B$円とします。$A$と$B$をそれぞれ$a$を用いて表し、$|A-B| \leq 30000$となるような$a$の値の範囲を求めます。 (3) (2)の$|A-B| \leq 30000$を満たす$a$の最大値を$M$とします。1人あたりの参加料が$M$円のとき、利益が参加料の合計の30%以上40%以下となるような$x$の値の範囲を求めます。

1. 問題の内容

ある旅行会社が企画したバスツアーに関する問題です。参加者の人数に応じて、一律にかかる費用と1名ごとにかかる費用が変動します。参加人数を$x$、1人あたりの参加料を$a$としたとき、以下の問いに答えます。

(1) $x=14$のとき、利益が76000円となるような$a$の値を求めます。

(2) $x=20$のときの利益を$A$円、$x=30$のときの利益を$B$円とします。$A$と$B$をそれぞれ$a$を用いて表し、$|A-B| \leq 30000$となるような$a$の値の範囲を求めます。

(3) (2)の$|A-B| \leq 30000$を満たす$a$の最大値を$M$とします。1人あたりの参加料が$M$円のとき、利益が参加料の合計の30%以上40%以下となるような$x$の値の範囲を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $x=14$のとき、参加者の規模に応じてかかる費用は120000円、1名ごとにかかる費用は6000円です。したがって、利益は$14a - 120000 - 14 \times 6000 = 14a - 120000 - 84000 = 14a - 204000$となります。これが76000円となるので、$14a - 204000 = 76000$を解けば$a$が求まります。

(2)

- $x=20$のとき、参加者の規模に応じてかかる費用は120000円、1名ごとにかかる費用は5000円です。したがって、利益$A$は、$A = 20a - 120000 - 20 \times 5000 = 20a - 120000 - 100000 = 20a - 220000$となります。

- $x=30$のとき、参加者の規模に応じてかかる費用は210000円、1名ごとにかかる費用は5000円です。したがって、利益$B$は、$B = 30a - 210000 - 30 \times 5000 = 30a - 210000 - 150000 = 30a - 360000$となります。

- $|A-B| \leq 30000$より、$|(20a - 220000) - (30a - 360000)| \leq 30000$。

$| -10a + 140000 | \leq 30000$。 $-30000 \leq -10a + 140000 \leq 30000$。

$-170000 \leq -10a \leq -110000$。 $11000 \leq a \leq 17000$。

しかし、$a \geq 12000$なので、 $12000 \leq a \leq 17000$。

(3) (2)より、$|A-B| \leq 30000$を満たす$a$の最大値は$M = 17000$です。

1人あたりの参加料が17000円のとき、利益は参加料の合計の30%以上40%以下となる$x$の範囲を求めます。

利益を$S$とすると、$S = ax - C - 5000x = 17000x - C - 5000x = 12000x - C$。

ここで、$C$は参加者の規模に応じてかかる費用です。

$x$の値によって$C$が異なるので、場合分けします。

$10 \leq x \leq 25$のとき、$C = 120000$なので、$S = 12000x - 120000$。

$26 \leq x \leq 50$のとき、$C = 210000$なので、$S = 12000x - 210000$。

- $10 \leq x \leq 25$のとき、参加料の合計は$17000x$。

$0.3 \times 17000x \leq 12000x - 120000 \leq 0.4 \times 17000x$

$5100x \leq 12000x - 120000 \leq 6800x$

$5100x \leq 12000x - 120000$かつ$12000x - 120000 \leq 6800x$

$120000 \leq 6900x$かつ$5200x \leq 120000$

$x \geq \frac{120000}{6900} \approx 17.39$かつ$x \leq \frac{120000}{5200} \approx 23.08$

よって、$18 \leq x \leq 23$。

- $26 \leq x \leq 50$のとき、参加料の合計は$17000x$。

$0.3 \times 17000x \leq 12000x - 210000 \leq 0.4 \times 17000x$

$5100x \leq 12000x - 210000 \leq 6800x$

$5100x \leq 12000x - 210000$かつ$12000x - 210000 \leq 6800x$

$210000 \leq 6900x$かつ$5200x \leq 210000$

$x \geq \frac{210000}{6900} \approx 30.43$かつ$x \leq \frac{210000}{5200} \approx 40.38$

よって、$31 \leq x \leq 40$。

したがって、$18 \leq x \leq 23$または$31 \leq x \leq 40$。

3. 最終的な答え

(1) $a = 20000$

(2) $A = 20a - 220000$, $B = 30a - 360000$, $12000 \leq a \leq 17000$

(3) $18 \leq x \leq 23$ または $31 \leq x \leq 40$